Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})$ , вынося $2 x + 1$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{(2 x + 1) \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} (2 x + 1) \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} 2 x + 1 \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Этап 2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Этап 2.6

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Этап 2.8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Этап 2.9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Этап 2.10

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Этап 2.11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 5})}$

Этап 2.12

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5})}$

Этап 2.13

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $8$ .

$e^{(16 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Этап 4.2

Добавим $16$ и $1$ .

$e^{17 \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Этап 4.3

Упростим $17 \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})$ путем переноса $17$ под логарифм.

$e^{\ln ({(\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17})}$

Этап 4.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $2$ на $8$ .

${(\frac{16 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Этап 4.5.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

${(\frac{16 - 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Этап 4.5.3

Вычтем $3$ из $16$ .

${(\frac{13}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Этап 4.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $2$ на $8$ .

${(\frac{13}{16 + 5})}^{17}$

Этап 4.6.2

Добавим $16$ и $5$ .

${(\frac{13}{21})}^{17}$

Этап 4.7

Применим правило умножения к $\frac{13}{21}$ .

$\frac{13^{17}}{21^{17}}$

Этап 4.8

Возведем $13$ в степень $17$ .

$\frac{8650415919381340000}{21^{17}}$

Этап 4.9

Возведем $21$ в степень $17$ .

$\frac{8650415919381340000}{30041942495081700000000}$

Этап 4.10

Сократим общий множитель $8650415919381340000$ и $30041942495081700000000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Вынесем множитель $20000$ из $8650415919381340000$ .

$\frac{20000 (432520795969067)}{30041942495081700000000}$

Этап 4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Вынесем множитель $20000$ из $30041942495081700000000$ .

$\frac{20000 \cdot 432520795969067}{20000 \cdot 1502097124754085000}$

Этап 4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{20000 \cdot 432520795969067}{20000 \cdot 1502097124754085000}$

Этап 4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{432520795969067}{1502097124754085000}$