Математический анализ Примеры

$\int {(x + \sqrt{x})}^{2} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x + \sqrt{x})}^{2}$ в виде $(x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})$ .

$\int (x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x}) d x$

Этап 1.2

Развернем $(x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (x + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (x + \sqrt{x}) d x$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} (x + \sqrt{x}) d x$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

Этап 1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

Этап 1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

Этап 1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{2} d x$

Этап 1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Этап 1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Этап 1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{2}{2}} d x$

Этап 1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{2}{2}} d x$

Этап 1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{1} d x$

Этап 1.3.1.2.5

Упростим.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x d x$

Этап 1.3.2

Изменим порядок множителей в $\sqrt{x} x$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + x \sqrt{x} + x d x$

Этап 1.3.3

Добавим $x \sqrt{x}$ и $x \sqrt{x}$ .

$\int x \cdot x + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Этап 2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + 1} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x^{2} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Этап 2.5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{2} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Этап 2.6

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{2} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x) + x d x$

Этап 2.6.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{2} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + x d x$

Этап 2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1} + x d x$

Этап 2.6.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + x d x$

Этап 2.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + x d x$

Этап 2.6.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{3}{2}} + x d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8.2

Упростим.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + C$