Математический анализ Примеры

$\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = 1 - e^{2 x}$ . Тогда $d u_{2} = - 2 e^{2 x} d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = 1 - e^{2 x}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - e^{2 x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{2 x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 - (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$0 - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Этап 1.1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$0 - (e^{2 x} \cdot 2)$

Этап 1.1.3.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$0 - (2 \cdot e^{2 x})$

Этап 1.1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 e^{2 x}$

Этап 1.1.4

Вычтем $2 e^{2 x}$ из $0$ .

$- 2 e^{2 x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u_{2}}$ .

$\int - \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 5.2

Вынесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 6

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - e^{2 x}$ .

$- {(1 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}} + C$