Математический анализ Примеры

$\int \frac{{(u + 1)}^{3}}{u^{2}} d u$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u + 1)}^{3} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u + 1)}^{3} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int {(u + 1)}^{3} u^{- 2} d u$

Этап 2

Пусть $u_{1} = u + 1$ . Тогда $d u_{1} = d u$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = u + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u + 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $u + 1$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [1]$

Этап 2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $u$ , производная $1$ относительно $u$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{3} {(u_{1} - 1)}^{- 2} d u_{1}$

Этап 3

Пусть $u_{2} = u_{1} - 1$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{2} = u_{1} - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $u_{1} - 1$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Этап 3.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- 1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int {(u_{2} + 1)}^{3} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 4

Пусть $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Тогда $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\int {(\sqrt{u_{3}} + 1)}^{3} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(\sqrt{u_{3}} + 1)}^{3}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 1)}^{3}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{{(\sqrt{u_{3}} + 1)}^{3}}{2}$ и ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 1)}^{3} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Этап 5.3

Перенесем ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 1)}^{3}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Этап 5.4

Перепишем ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ в виде $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 1)}^{3}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{3}}$ в виде ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Этап 7.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ в виде ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Этап 7.3

Вынесем ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Этап 7.4

Перемножим экспоненты в ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Этап 7.4.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Этап 7.4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Этап 7.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{1}{2} \int ({({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{3} + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{2} + 1^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.2

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{2} + 1^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.3

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{2} + 1^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.4

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{2} + 1^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.5

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

Этап 8.6

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

Этап 8.7

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

Этап 8.8

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 8.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot (1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot (1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot (1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot (1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.11

Перенесем ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot (1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot (1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.12

Перенесем ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot (1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot (1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.13

Перенесем ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot (1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.16

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.17

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.17.1

Сократим общий множитель.

Этап 8.17.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.18

Упростим.

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.19

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

Этап 8.20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.21

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.23

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.24

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3 - 3}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.26

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{0}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.27

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.27.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 (0)}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.27.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.27.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.27.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 8.27.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{0}{1}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.27.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{0} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.28

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.29

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.30

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.32

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.33

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.33.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.33.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.34

Упростим.

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.35

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.36

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.37

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.38

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.39

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.40

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.41

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.42

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.43

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.44

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.45

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.45.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.45.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.45.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.45.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.45.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.45.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} + 1 \cdot 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.46

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.47

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} + 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.48

Умножим ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.49

Изменим порядок $1$ и $3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 + 3 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.50

Перенесем $1$ .

$\frac{1}{2} \int 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} + 1 + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.51

Изменим порядок $3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ и $3 {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int 3 {u_{3}}^{- 1} + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.52

Перенесем $1$ .

$\frac{1}{2} \int 3 {u_{3}}^{- 1} + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 d u_{3}$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int 3 {u_{3}}^{- 1} + 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 d u_{3}$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int 3 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Этап 11

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (3 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Этап 12

Интеграл ${u_{3}}^{- 1}$ по $u_{3}$ имеет вид $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Этап 13

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) + 3 \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Этап 14

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) + 3 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Этап 15

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) + 3 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C + \int d u_{3})$

Этап 16

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) + 3 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C + u_{3} + C)$

Этап 17

Упростим.

$\frac{1}{2} (3 \ln (| u_{3} |) + 6 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} + u_{3}) + C$

Этап 18

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим все вхождения $u_{3}$ на ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (| {u_{2}}^{2} |) + 6 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {u_{2}}^{2}) + C$

Этап 18.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $u_{1} - 1$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (| {(u_{1} - 1)}^{2} |) + 6 {({(u_{1} - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(u_{1} - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(u_{1} - 1)}^{2}) + C$

Этап 18.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $u + 1$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (| {(u + 1 - 1)}^{2} |) + 6 {({(u + 1 - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(u + 1 - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(u + 1 - 1)}^{2}) + C$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Объединим противоположные члены в $3 \ln (| {(u + 1 - 1)}^{2} |) + 6 {({(u + 1 - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(u + 1 - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(u + 1 - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (| {(u + 0)}^{2} |) + 6 {({(u + 1 - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(u + 1 - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(u + 1 - 1)}^{2}) + C$

Этап 19.1.2

Добавим $u$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (| u^{2} |) + 6 {({(u + 1 - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(u + 1 - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(u + 1 - 1)}^{2}) + C$

Этап 19.1.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (| u^{2} |) + 6 {({(u + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(u + 1 - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(u + 1 - 1)}^{2}) + C$

Этап 19.1.4

Добавим $u$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (| u^{2} |) + 6 {(u^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(u + 1 - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(u + 1 - 1)}^{2}) + C$

Этап 19.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (| u^{2} |) + 6 {(u^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(u + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(u + 1 - 1)}^{2}) + C$

Этап 19.1.6

Добавим $u$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (| u^{2} |) + 6 {(u^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(u^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(u + 1 - 1)}^{2}) + C$

Этап 19.1.7

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (| u^{2} |) + 6 {(u^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(u^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(u + 0)}^{2}) + C$

Этап 19.1.8

Добавим $u$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (| u^{2} |) + 6 {(u^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(u^{2})}^{\frac{1}{2}}} + u^{2}) + C$

Этап 19.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{1}{2} (3 \ln (u^{2}) + 6 {(u^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(u^{2})}^{\frac{1}{2}}} + u^{2}) + C$

Этап 19.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (u^{2}) + 6 u^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{(u^{2})}^{\frac{1}{2}}} + u^{2}) + C$

Этап 19.2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (3 \ln (u^{2}) + 6 u^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{(u^{2})}^{\frac{1}{2}}} + u^{2}) + C$

Этап 19.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (3 \ln (u^{2}) + 6 u^{1} - \frac{2}{{(u^{2})}^{\frac{1}{2}}} + u^{2}) + C$

Этап 19.2.3

Упростим.

$\frac{1}{2} (3 \ln (u^{2}) + 6 u - \frac{2}{{(u^{2})}^{\frac{1}{2}}} + u^{2}) + C$

Этап 19.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.4.1

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (u^{2}) + 6 u - \frac{2}{u^{2 (\frac{1}{2})}} + u^{2}) + C$

Этап 19.2.4.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (3 \ln (u^{2}) + 6 u - \frac{2}{u^{2 (\frac{1}{2})}} + u^{2}) + C$

Этап 19.2.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (3 \ln (u^{2}) + 6 u - \frac{2}{u^{1}} + u^{2}) + C$

Этап 19.2.4.2

Упростим.

$\frac{1}{2} (3 \ln (u^{2}) + 6 u - \frac{2}{u} + u^{2}) + C$

Этап 19.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (3 \ln (u^{2})) + \frac{1}{2} (6 u) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{u}) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 19.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Умножим $\frac{1}{2} (3 \ln (u^{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \ln (u^{2}) + \frac{1}{2} (6 u) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{u}) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 19.4.1.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\ln (u^{2})$ .

$\frac{3 \ln (u^{2})}{2} + \frac{1}{2} (6 u) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{u}) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 19.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 u$ .

$\frac{3 \ln (u^{2})}{2} + \frac{1}{2} (2 (3 u)) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{u}) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 19.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \ln (u^{2})}{2} + \frac{1}{2} (2 (3 u)) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{u}) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 19.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \ln (u^{2})}{2} + 3 u + \frac{1}{2} (- \frac{2}{u}) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 19.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{u}$ в числитель.

$\frac{3 \ln (u^{2})}{2} + 3 u + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{u} + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 19.4.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{3 \ln (u^{2})}{2} + 3 u + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{u} + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 19.4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \ln (u^{2})}{2} + 3 u + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{u} + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 19.4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \ln (u^{2})}{2} + 3 u + \frac{- 1}{u} + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 19.4.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$\frac{3 \ln (u^{2})}{2} + 3 u + \frac{- 1}{u} + \frac{u^{2}}{2} + C$

Этап 19.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.1

Развернем $\ln (u^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{3 (2 \ln (u))}{2} + 3 u + \frac{- 1}{u} + \frac{u^{2}}{2} + C$

Этап 19.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 \ln (u))}{2} + 3 u + \frac{- 1}{u} + \frac{u^{2}}{2} + C$

Этап 19.5.2.2

Разделим $3 (\ln (u))$ на $1$ .

$3 (\ln (u)) + 3 u + \frac{- 1}{u} + \frac{u^{2}}{2} + C$

Этап 19.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \ln (u) + 3 u - \frac{1}{u} + \frac{u^{2}}{2} + C$

Этап 20

Изменим порядок членов.

$3 \ln (u) + 3 u - \frac{1}{u} + \frac{1}{2} u^{2} + C$