Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 y^{4}}{y^{5} + 1} d y$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{y^{4}}{y^{5} + 1} d y$

Этап 2

Перепишем $y^{5}$ в виде ${(y^{5})}^{1}$ .

$2 \int \frac{y^{4}}{{(y^{5})}^{1} + 1} d y$

Этап 3

Пусть $u_{1} = y^{5}$ . Тогда $d u_{1} = 5 y^{4} d y$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{1} = y^{4} d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = y^{5}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $y^{5}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 y^{4}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{5} d u_{1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

$2 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{5} d u_{1}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{u_{1} + 1}$ на $\frac{1}{5}$ .

$2 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 5} d u_{1}$

Этап 4.3

Перенесем $5$ влево от $u_{1} + 1$ .

$2 \int \frac{1}{5 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1})$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{5}$ и $2$ .

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Этап 7

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $u_{1} + 1$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 7.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{2}{5} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 9

Упростим.

$\frac{2}{5} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $u_{1} + 1$ .

$\frac{2}{5} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Этап 10.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y^{5}$ .

$\frac{2}{5} \ln (| y^{5} + 1 |) + C$