Математический анализ Примеры

$\int_{0.8}^{2.3} \sqrt[3]{x - 4} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 4$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 4$ .

$u_{lower} = 0.8 - 4$

Этап 1.3

Вычтем $4$ из $0.8$ .

$u_{lower} = - 3.2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 4$ .

$u_{upper} = 2.3 - 4$

Этап 1.5

Вычтем $4$ из $2.3$ .

$u_{upper} = - 1.7$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 3.2$

$u_{upper} = - 1.7$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 3.2}^{- 1.7} \sqrt[3]{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{- 3.2}^{- 1.7} u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 3.2}^{- 1.7}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ в $- 1.7$ и в $- 3.2$ .

$(\frac{3}{4} {(- 1.7)}^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 3.2)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и ${(- 1.7)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 {(- 1.7)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} {(- 3.2)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.2.2

Объединим ${(- 3.2)}^{\frac{4}{3}}$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 {(- 1.7)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{{(- 3.2)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4}$

Этап 4.2.3

Перенесем $3$ влево от ${(- 3.2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 {(- 1.7)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 3.2)}^{\frac{4}{3}}}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3 {(- 1.7)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 3.2)}^{\frac{4}{3}}}{4}$

Десятичная форма:

$- 2.01497916 \dots$

Этап 6