Математический анализ Примеры

$\int_{0.5}^{4} x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0.5}^{4} x^{3} d x + \int_{0.5}^{4} - 6 x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} + \int_{0.5}^{4} - 6 x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Этап 3

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 \int_{0.5}^{4} x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Этап 6

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 \int_{0.5}^{4} x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4}) + x]_{0.5}^{4}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4}$ и $x]_{0.5}^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + x]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4} + x$ в $4$ и в $0.5$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

Этап 10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $0.5$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

Этап 10.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $0.5$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 256 + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $256$ .

$\frac{256}{4} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$\frac{4 \cdot 64}{4} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{64}{1} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$64 + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.4

Добавим $64$ и $4$ .

$68 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.5

Возведем $0.5$ в степень $4$ .

$68 - (\frac{1}{4} \cdot 0.0625 + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $0.0625$ .

$68 - (\frac{0.0625}{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.7

Чтобы записать $0.5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$68 - (\frac{0.0625}{4} + 0.5 \cdot \frac{4}{4}) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.8

Объединим $0.5$ и $\frac{4}{4}$ .

$68 - (\frac{0.0625}{4} + \frac{0.5 \cdot 4}{4}) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$68 - \frac{0.0625 + 0.5 \cdot 4}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.10

Умножим $0.5$ на $4$ .

$68 - \frac{0.0625 + 2}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.11

Добавим $0.0625$ и $2$ .

$68 - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.12

Чтобы записать $68$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$68 \cdot \frac{4}{4} - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.13

Объединим $68$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{68 \cdot 4}{4} - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{68 \cdot 4 - 2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.15

Умножим $68$ на $4$ .

$\frac{272 - 2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.16

Вычтем $2.0625$ из $272$ .

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.17

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{64}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.18

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{64}{3} - \frac{0.125}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{269.9375}{4} - 6 \frac{64 - 0.125}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.20

Вычтем $0.125$ из $64$ .

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{63.875}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.21

Объединим $- 6$ и $\frac{63.875}{3}$ .

$\frac{269.9375}{4} + \frac{- 6 \cdot 63.875}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.22

Умножим $- 6$ на $63.875$ .

$\frac{269.9375}{4} + \frac{- 383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.23

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{269.9375}{4} - \frac{383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.24

Чтобы записать $\frac{269.9375}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{269.9375}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.25

Чтобы записать $- \frac{383.25}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{269.9375}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.26

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.26.1

Умножим $\frac{269.9375}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{269.9375 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.26.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.26.3

Умножим $\frac{383.25}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.26.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{269.9375 \cdot 3 - 383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.28

Умножим $269.9375$ на $3$ .

$\frac{809.8125 - 383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.29

Умножим $- 383.25$ на $4$ .

$\frac{809.8125 - 1533}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.30

Вычтем $1533$ из $809.8125$ .

$\frac{- 723.1875}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.31

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.32

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{16}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.33

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.33.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.33.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.33.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.33.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.33.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{8}{1} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.33.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.34

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 - \frac{0.25}{2})$

Этап 10.2.4.35

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{0.25}{2})$

Этап 10.2.4.36

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{0.25}{2})$

Этап 10.2.4.37

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{723.1875}{12} + 9 \frac{8 \cdot 2 - 0.25}{2}$

Этап 10.2.4.38

Умножим $8$ на $2$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 \frac{16 - 0.25}{2}$

Этап 10.2.4.39

Вычтем $0.25$ из $16$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{15.75}{2})$

Этап 10.2.4.40

Объединим $9$ и $\frac{15.75}{2}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{9 \cdot 15.75}{2}$

Этап 10.2.4.41

Умножим $9$ на $15.75$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75}{2}$

Этап 10.2.4.42

Чтобы записать $\frac{141.75}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 10.2.4.43

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.43.1

Умножим $\frac{141.75}{2}$ на $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

Этап 10.2.4.43.2

Умножим $2$ на $6$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75 \cdot 6}{12}$

Этап 10.2.4.44

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 723.1875 + 141.75 \cdot 6}{12}$

Этап 10.2.4.45

Умножим $141.75$ на $6$ .

$\frac{- 723.1875 + 850.5}{12}$

Этап 10.2.4.46

Добавим $- 723.1875$ и $850.5$ .

$\frac{127.3125}{12}$

Этап 11

Разделим $127.3125$ на $12$ .

$10.609375$

Этап 12