Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x - 1}{\sqrt{5 - 3 x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3}$ положительно.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{{\sqrt{5}}^{2} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{\sqrt{5}}^{2} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5^{1} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.1.5

Найдем экспоненту.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.4.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{15}}{3} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.5

Объединим $\frac{\sqrt{15}}{3}$ и $\sin (t)$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{15} \sin (t)}{3})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{15} \sin (t)}{3}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{{(\sqrt{15} \sin (t))}^{2}}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.6.2

Применим правило умножения к $\sqrt{15} \sin (t)$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{{\sqrt{15}}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.7

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15^{1} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.7.5

Найдем экспоненту.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15 \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15 \sin^{2} (t)}{9}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.9.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 + 3 (- 1) \frac{15 \sin^{2} (t)}{9}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.9.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 + 3 \cdot - 1 \frac{15 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.9.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 + 3 \cdot - 1 \frac{15 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.9.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{15 \sin^{2} (t)}{3}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.10

Сократим общий множитель $15$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.10.1

Вынесем множитель $3$ из $15 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{3 (5 \sin^{2} (t))}{3}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{3 (5 \sin^{2} (t))}{3 (1)}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{3 (5 \sin^{2} (t))}{3 \cdot 1}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{5 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.10.2.4

Разделим $5 \sin^{2} (t)$ на $1$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 (5 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.11

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 5 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 (1) - 5 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $5$ из $- 5 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $5$ из $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.6

Изменим порядок $5$ и $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\cos (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ и $\sin (t)$ .

$\int \frac{2 \frac{\sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} - 1}{\cos (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.2.2

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}}$ .

$\int \frac{\frac{2 (\sqrt{5} \sin (t))}{\sqrt{3}} - 1}{\cos (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} - 1}{\cos (t) \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} - 1}{\cos (t) \sqrt{5}} \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.2.4

Объединим.

$\int \frac{\sqrt{3} (\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} - 1)}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{\sqrt{3} \frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} \cdot - 1}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.2.6

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sqrt{3} \frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} \cdot - 1}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.2.6.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) + \sqrt{3} \cdot - 1}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.2.7

Перенесем $- 1$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - 1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.2.8

Перепишем $- 1 \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.2.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{\sqrt{5 \cdot 3} \cos (t)} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.2.10

Умножим $5$ на $3$ .

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{\sqrt{15} \cos (t)} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.2.11

Умножим $\frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{\sqrt{15} \cos (t)}$ на $\frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3}$ .

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) (\sqrt{15} \cos (t))}{\sqrt{15} \cos (t) \cdot 3} d t$

Этап 2.2.12

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{15} \cos (t)$ .

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) \sqrt{15} \cos (t)}{3 \cdot (\sqrt{15} \cos (t))} d t$

Этап 2.2.13

Сократим общий множитель $\sqrt{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) \sqrt{15} \cos (t)}{3 \sqrt{15} \cos (t)} d t$

Этап 2.2.13.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) \cos (t)}{3 \cos (t)} d t$

Этап 2.2.14

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) \cos (t)}{3 \cos (t)} d t$

Этап 2.2.14.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{3} d t$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int 2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3} d t$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} (\int 2 \sqrt{5} \sin (t) d t + \int - \sqrt{3} d t)$

Этап 5

Поскольку $2 \sqrt{5}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2 \sqrt{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (2 \sqrt{5} \int \sin (t) d t + \int - \sqrt{3} d t)$

Этап 6

Интеграл $\sin (t)$ по $t$ имеет вид $- \cos (t)$ .

$\frac{1}{3} (2 \sqrt{5} (- \cos (t) + C) + \int - \sqrt{3} d t)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} (2 \sqrt{5} (- \cos (t) + C) - \sqrt{3} t + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \cos (t) - \sqrt{3} t) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \cos (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}}, \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}}, \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{(1 + \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) (1 - \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) (1 - \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} x}{\sqrt{5}} (1 - \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} x}{\sqrt{5}} (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} x}{\sqrt{5}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.8

Умножим $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} x}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} x}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{\sqrt{5} \sqrt{5}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.9.1

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.9.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.9.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.9.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{\sqrt{5}}^{2}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.10

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5^{\frac{2}{2}}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.10.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5^{\frac{2}{2}}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.10.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5^{1}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.10.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.11

Развернем $(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{3} x) + \sqrt{3} x (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3} x) + \sqrt{3} x (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3} x) + \sqrt{3} x \sqrt{5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.12

Объединим противоположные члены в $\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3} x) + \sqrt{3} x \sqrt{5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.12.1

Изменим порядок множителей в членах $\sqrt{5} (- \sqrt{3} x)$ и $\sqrt{3} x \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} - x \sqrt{3} \sqrt{5} + x \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.12.2

Добавим $- x \sqrt{3} \sqrt{5}$ и $x \sqrt{3} \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + 0 + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.12.3

Добавим $\sqrt{5} \sqrt{5}$ и $0$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.13.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{25} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{3} \cdot - 1 \sqrt{3} x \cdot x}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.13.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{3} \cdot - 1 \sqrt{3} (x \cdot x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{3} \cdot - 1 \sqrt{3} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.7

Перенесем $- 1$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 1 \cdot \sqrt{3} \sqrt{3} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.8

Перепишем $- 1 \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - \sqrt{3} \sqrt{3} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.9

Умножим $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.13.9.1

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.9.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.9.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - {\sqrt{3}}^{1 + 1} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.9.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - {\sqrt{3}}^{2} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.10

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.13.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3^{\frac{2}{2}} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.13.10.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3^{\frac{2}{2}} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.10.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3^{1} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.10.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 1 \cdot 3 x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.13.11

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3 x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.14

Перепишем $\sqrt{\frac{5 - 3 x^{2}}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \frac{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}{\sqrt{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.15

Сократим общий множитель $\sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.15.1

Вынесем множитель $\sqrt{5}$ из $- 2 \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5} \cdot - 2 \frac{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}{\sqrt{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.15.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (\sqrt{5} \cdot - 2 \frac{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}{\sqrt{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.1.15.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}}) + \frac{1}{3} (- \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.3

Умножим $\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} \sqrt{5 - 3 x^{2}} + \frac{1}{3} (- \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.3.2

Объединим $\frac{- 2}{3}$ и $\sqrt{5 - 3 x^{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}}}{3} + \frac{1}{3} (- \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Этап 10.4

Умножим $\frac{1}{3} (- \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) + C$

Этап 10.4.2

Объединим $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}}}{3} - \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

Этап 10.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}} - \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

Этап 10.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}} - \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Изменим порядок $5$ и $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5} - \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

Этап 10.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5}$ .

$\frac{- (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5}) - \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

Этап 10.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}$ .

$\frac{- (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5}) - (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3})}{3} + C$

Этап 10.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5}) - (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3})$ .

$\frac{- (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5} + \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3})}{3} + C$

Этап 10.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5} + \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{3} (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5} + \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} x) \sqrt{3}) + C$