Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x + 1}{2 x} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{2 x + 1}{x} d x$

Этап 2

Разделим $2 x + 1$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$2 x$

$1$

Этап 2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2$
	$x$	+	$0$		$2 x$	+	$1$

Этап 2.3

Умножим новое частное на делитель.

Этап 2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x + 0$ .

Этап 2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

Этап 2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{1}{2} \int 2 + \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int 2 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (2 x + C + \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (2 x + C + \ln (| x |) + C)$

Этап 6

Упростим.

$\frac{1}{2} (2 x + \ln (| x |)) + C$