Математический анализ Примеры

$\int \frac{1 - x}{1 + x} d x$

Этап 1

Изменим порядок $1$ и $- x$ .

$\int \frac{- x + 1}{1 + x} d x$

Этап 2

Изменим порядок $1$ и $x$ .

$\int \frac{- x + 1}{x + 1} d x$

Этап 3

Разделим $- x + 1$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$1$

Этап 3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$1$
	$x$	+	$1$	-	$x$	+	$1$

Этап 3.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$1$
$x$	+	$1$	-	$x$	+	$1$
			-	$x$	-	$1$

Этап 3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x - 1$ .

			-	$1$
$x$	+	$1$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	+	$1$

Этап 3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$1$
$x$	+	$1$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	+	$1$
					+	$2$

Этап 3.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int - 1 + \frac{2}{x + 1} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d x + \int \frac{2}{x + 1} d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x + C + \int \frac{2}{x + 1} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- x + C + 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 7

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 7.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

Этап 9

Упростим.

$- x + 2 \ln (| u |) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$- x + 2 \ln (| x + 1 |) + C$