Математический анализ Примеры

$\int (\tan^{3} (x) + \tan^{5} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Этап 1

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{3} + u^{5} d u$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{3} d u + \int u^{5} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{5} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{5}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$\frac{1}{4} \tan^{4} (x) + \frac{1}{6} \tan^{6} (x) + C$