Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{2 y} - \frac{2}{y^{2}} + \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{2 y} d y + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - \int \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y) + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Этап 6.2

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Этап 6.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Этап 6.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{- 2} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Этап 7

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Этап 8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Этап 9

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Этап 9.2

Вынесем $y^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Этап 9.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Этап 9.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Этап 9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

Этап 10

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 (2 y^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$\frac{\ln (| y |)}{2} + \frac{2}{y} + 3 (2 y^{\frac{1}{2}}) + C$

Этап 11.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} + \frac{2}{y} + 6 y^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 11.2.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \ln (| y |) + \frac{2}{y} + 6 y^{\frac{1}{2}} + C$