Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{3 y} - \frac{5}{\sqrt{y}} + e^{\frac{- y}{2}} d y$

Этап 1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{3 y} - \frac{5}{\sqrt{y}} + e^{- \frac{y}{2}} d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{3 y} d y + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - \int \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - (5 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y) + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Этап 7.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Этап 7.3

Вынесем $y^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Этап 7.4

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Этап 7.4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Этап 7.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{- \frac{1}{2}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Этап 8

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Этап 9

Пусть $u = - \frac{y}{2}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{2} d y$ , следовательно $- 2 d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = - \frac{y}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $- \frac{y}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Этап 9.1.2

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{y}{2}$ по $y$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Этап 10.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Этап 10.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \cdot 2 d u$

Этап 10.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - 2 e^{u} d u$

Этап 11

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int e^{u} d u$

Этап 12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (e^{u} + C)$

Этап 13

Упростим.

$\frac{\ln (| y |)}{3} - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{u} + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{y}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |)}{3} - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- \frac{y}{2}} + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} \ln (| y |) - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- \frac{1}{2} y} + C$