Математический анализ Примеры

$\int \frac{5}{t^{2}} + 4 t^{2} d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{5}{t^{2}} d t + \int 4 t^{2} d t$

Этап 2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \frac{1}{t^{2}} d t + \int 4 t^{2} d t$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $t^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$5 \int {(t^{2})}^{- 1} d t + \int 4 t^{2} d t$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int t^{2 \cdot - 1} d t + \int 4 t^{2} d t$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 \int t^{- 2} d t + \int 4 t^{2} d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{- 2}$ по $t$ имеет вид $- t^{- 1}$ .

$5 (- t^{- 1} + C) + \int 4 t^{2} d t$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$5 (- t^{- 1} + C) + 4 \int t^{2} d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$5 (- t^{- 1} + C) + 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$5 (- \frac{1}{t}) + 4 (\frac{1}{3} t^{3}) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \frac{1}{t} + 4 (\frac{1}{3} t^{3}) + C$

Этап 7.2.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{t}$ .

$\frac{- 5}{t} + 4 (\frac{1}{3} t^{3}) + C$

Этап 7.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{t} + 4 (\frac{1}{3} t^{3}) + C$

Этап 7.2.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$- \frac{5}{t} + 4 \frac{t^{3}}{3} + C$

Этап 7.2.5

Объединим $4$ и $\frac{t^{3}}{3}$ .

$- \frac{5}{t} + \frac{4 t^{3}}{3} + C$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$- \frac{5}{t} + \frac{4}{3} t^{3} + C$