Математический анализ Примеры

$\int \frac{6}{x} + \frac{3}{x^{4}} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{6}{x} d x + \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Этап 2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Этап 5.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 4} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Этап 7.1.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Этап 7.2

Упростим.

$6 \ln (| x |) + \frac{- 1}{x^{3}} + C$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 \ln (| x |) - \frac{1}{x^{3}} + C$