Математический анализ Примеры

$\int 8 \sqrt[4]{x^{3}} + \frac{9}{\sqrt[3]{x}} d x + x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 8 \sqrt[4]{x^{3}} d x + \int \frac{9}{\sqrt[3]{x}} d x + x$

Этап 2

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int \sqrt[4]{x^{3}} d x + \int \frac{9}{\sqrt[3]{x}} d x + x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{4}}$ .

$8 \int x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{9}{\sqrt[3]{x}} d x + x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$8 (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + \int \frac{9}{\sqrt[3]{x}} d x + x$

Этап 5

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + 9 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x + x$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$8 (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + 9 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + x$

Этап 6.2

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$8 (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + 9 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + x$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $\frac{4}{7}$ и $x^{\frac{7}{4}}$ .

$8 (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + 9 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + x$

Этап 6.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + 9 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x + x$

Этап 6.3.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$8 (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + 9 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x + x$

Этап 6.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + 9 \int x^{- \frac{1}{3}} d x + x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + 9 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) + x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + 9 (\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C) + x$

Этап 8.2

Упростим.

$\frac{32 x^{\frac{7}{4}}}{7} + \frac{27 x^{\frac{2}{3}}}{2} + x + C$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{32}{7} x^{\frac{7}{4}} + \frac{27}{2} x^{\frac{2}{3}} + x + C$