Математический анализ Примеры

$\int 9 t^{2} + \frac{1}{\sqrt{t^{3}}} d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 9 t^{2} d t + \int \frac{1}{\sqrt{t^{3}}} d t$

Этап 2

Поскольку $9$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int t^{2} d t + \int \frac{1}{\sqrt{t^{3}}} d t$

Этап 3

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int \frac{1}{\sqrt{t^{3}}} d t$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t^{3}}$ в виде $t^{\frac{3}{2}}$ .

$9 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} d t$

Этап 4.2

Вынесем $t^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$9 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d t$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d t$

Этап 4.3.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int t^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d t$

Этап 4.3.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int t^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d t$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int t^{\frac{- 3}{2}} d t$

Этап 4.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t^{- \frac{3}{2}}$ по $t$ имеет вид $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

Этап 6

Упростим.

$3 t^{3} - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$