Математический анализ Примеры

$\int \sec (x) - \cot (x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sec (x) d x + \int - \cot (x) d x$

Этап 2

Интеграл $\sec (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C + \int - \cot (x) d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C - \int \cot (x) d x$

Этап 4

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C - (\ln (| \sin (x) |) + C)$

Этап 5

Упростим.

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) - \ln (| \sin (x) |) + C$

Этап 6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sec (x) + \tan (x) |}{| \sin (x) |}) + C$