Математический анализ Примеры

$\int 18 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 18 \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 2

Поскольку $18$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $18$ из-под знака интеграла.

$18 \int \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$18 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$18 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$18 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 5.2

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$18 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$18 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 5.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 5.3.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$18 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 5.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$18 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$18 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 7

Упростим.

$12 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$