Математический анализ Примеры

$\int (1 - t) (2 + t^{2}) d t$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 (2 + t^{2}) - t (2 + t^{2}) d t$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 2 + 1 t^{2} - t (2 + t^{2}) d t$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 2 + 1 t^{2} - t \cdot 2 - t \cdot t^{2} d t$

Этап 1.4

Перенесем $t$ .

$\int 1 \cdot 2 + 1 t^{2} - 1 \cdot 2 t - t \cdot t^{2} d t$

Этап 1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\int 2 + 1 t^{2} - 1 \cdot 2 t - t \cdot t^{2} d t$

Этап 1.6

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$\int 2 + t^{2} - 1 \cdot 2 t - t \cdot t^{2} d t$

Этап 1.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\int 2 + t^{2} - 2 t - t \cdot t^{2} d t$

Этап 1.8

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int 2 + t^{2} - 2 t - (t \cdot t^{2}) d t$

Этап 1.9

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int 2 + t^{2} - 2 t - (t^{1} t^{2}) d t$

Этап 1.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 + t^{2} - 2 t - t^{1 + 2} d t$

Этап 1.11

Добавим $1$ и $2$ .

$\int 2 + t^{2} - 2 t - t^{3} d t$

Этап 1.12

Изменим порядок $2$ и $t^{2}$ .

$\int t^{2} + 2 - 2 t - t^{3} d t$

Этап 1.13

Изменим порядок $- 2 t$ и $- t^{3}$ .

$\int t^{2} + 2 - t^{3} - 2 t d t$

Этап 1.14

Перенесем $2$ .

$\int t^{2} - t^{3} - 2 t + 2 d t$

Этап 1.15

Изменим порядок $t^{2}$ и $- t^{3}$ .

$\int - t^{3} + t^{2} - 2 t + 2 d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - t^{3} d t + \int t^{2} d t + \int - 2 t d t + \int 2 d t$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int t^{3} d t + \int t^{2} d t + \int - 2 t d t + \int 2 d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \int t^{2} d t + \int - 2 t d t + \int 2 d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$- (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{3} t^{3} + C + \int - 2 t d t + \int 2 d t$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $t^{4}$ .

$- (\frac{t^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} t^{3} + C + \int - 2 t d t + \int 2 d t$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{t^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} t^{3} + C - 2 \int t d t + \int 2 d t$

Этап 8

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- (\frac{t^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} t^{3} + C - 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int 2 d t$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$- (\frac{t^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} t^{3} + C - 2 (\frac{t^{2}}{2} + C) + \int 2 d t$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{t^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} t^{3} + C - 2 (\frac{t^{2}}{2} + C) + 2 t + C$

Этап 11

Упростим.

$- \frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{3}}{3} - t^{2} + 2 t + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{3} t^{3} - t^{2} + 2 t + C$