Математический анализ Примеры

$\int (1 - \cos (\frac{x}{2})) \sin (\frac{x}{2}) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Тогда $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , следовательно $2 d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $(1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1})$ .

$\int 2 (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Пусть $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Этап 4.1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 \int - 1 + u_{2} d u_{2}$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int - 1 d u_{2} + \int u_{2} d u_{2})$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (- u_{2} + C + \int u_{2} d u_{2})$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (- u_{2} + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{2}}^{2}$ .

$2 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

Этап 8.2

Упростим.

$2 (- u_{2} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Этап 9

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (u_{1})$ .

$2 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (u_{1})) + C$

Этап 9.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (\frac{x}{2})) + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2}) + C$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- \cos (\frac{x}{2})) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Этап 10.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Этап 10.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$- 2 \cos (\frac{1}{2} x) + \cos^{2} (\frac{1}{2} x) + C$