Математический анализ Примеры

$\int (2 x + 3) \sqrt{2 x - 1} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = 2 x + 3$ и $d v = \sqrt{2 x - 1}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 2 d x$

Этап 2.3

Объединим $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $2$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} d x$

Этап 2.4

Перенесем $2$ влево от ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4

Пусть $u = 2 x - 1$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 2 x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Этап 5

Объединим $u^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ в виде $\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Чтобы записать ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 9.2.2

Объединим ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 9.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 9.2.4

Перенесем $3$ влево от ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 9.2.5

Объединим $\frac{2}{5}$ и $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 9.2.6

Умножим $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Этап 9.2.7

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 1$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} (x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C$