Математический анализ Примеры

$\int 3 t^{2} + \frac{t}{9} d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 t^{2} d t + \int \frac{t}{9} d t$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int t^{2} d t + \int \frac{t}{9} d t$

Этап 3

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int \frac{t}{9} d t$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$3 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int \frac{t}{9} d t$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \frac{1}{9} \int t d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$3 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \frac{1}{9} (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$t^{3} + \frac{1}{9} (\frac{1}{2} t^{2}) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$t^{3} + \frac{1}{9} \cdot \frac{t^{2}}{2} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{t^{2}}{2}$ .

$t^{3} + \frac{t^{2}}{9 \cdot 2} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $9$ на $2$ .

$t^{3} + \frac{t^{2}}{18} + C$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$t^{3} + \frac{1}{18} t^{2} + C$