Математический анализ Примеры

$\int 2 x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 4 x + 1 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 7 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 7 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int 7 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

Этап 4

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 \int x^{3} d x + \int 7 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 7 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

Этап 6

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 7 \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 4 x d x + \int d x$

Этап 8

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 \int x d x + \int d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Этап 11.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Этап 11.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Этап 11.1.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Этап 11.2

Упростим.

$\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{7 x^{3}}{3} - 2 x^{2} + x + C$

Этап 11.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + \frac{7}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x + C$