Математический анализ Примеры

$\cos (x^{5})$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5}$ .

$- \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- \sin (x^{5}) (5 x^{4})$

Этап 1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 \sin (x^{5}) x^{4}$

Этап 1.2.2.2

Изменим порядок множителей в $- 5 \sin (x^{5}) x^{4}$ .

$f' (x) = - 5 x^{4} \sin (x^{5})$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{4} \sin (x^{5})$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \sin (x^{5})]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \sin (x^{5})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \sin (x^{5})$ .

$- 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{5})] + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{5}$ .

$- 5 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- 5 (x^{4} (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5}$ .

$- 5 (x^{4} (\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 5 (x^{4} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.5

Умножим $x^{4}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- 5 (x^{4} x^{4} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 5 (x^{4 + 4} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.5.3

Добавим $4$ и $4$ .

$- 5 (x^{8} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.6

Перенесем $5$ влево от $\cos (x^{5})$ .

$- 5 (x^{8} (5 \cdot \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 5 (x^{8} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (4 x^{3}))$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 (x^{8} (5 \cos (x^{5}))) - 5 (\sin (x^{5}) (4 x^{3}))$

Этап 2.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Умножим $5$ на $- 5$ .

$- 25 (x^{8} (\cos (x^{5}))) - 5 (\sin (x^{5}) (4 x^{3}))$

Этап 2.8.2.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$- 25 x^{8} \cos (x^{5}) - 20 \sin (x^{5}) x^{3}$

Этап 2.8.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - 25 x^{8} \cos (x^{5}) - 20 x^{3} \sin (x^{5})$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 25 x^{8} \cos (x^{5}) - 20 x^{3} \sin (x^{5})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 25 x^{8} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$ .

$\frac{d}{d x} [- 25 x^{8} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 25 x^{8} \cos (x^{5})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25 x^{8} \cos (x^{5})$ по $x$ равна $- 25 \frac{d}{d x} [x^{8} \cos (x^{5})]$ .

$- 25 \frac{d}{d x} [x^{8} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Этап 3.2.2

$- 25 (x^{8} \frac{d}{d x} [\cos (x^{5})] + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{5}$ .

$- 25 (x^{8} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Этап 3.2.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- 25 (x^{8} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{5}$ .

$- 25 (x^{8} (- \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 25 (x^{8} (- \sin (x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$- 25 (x^{8} (- \sin (x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Этап 3.2.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 25 (x^{8} (- 5 \sin (x^{5}) x^{4}) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Этап 3.2.7

Умножим $x^{8}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- 25 (x^{4} x^{8} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Этап 3.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 25 (x^{4 + 8} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Этап 3.2.7.3

Добавим $4$ и $8$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x^{3} \sin (x^{5})$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x^{5})]$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x^{5})]$

Этап 3.3.2

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x^{5})] + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{5}$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.3.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{5}$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Этап 3.3.6

Умножим $x^{3}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{4} x^{3} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Этап 3.3.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{4 + 3} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Этап 3.3.6.3

Добавим $4$ и $3$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Этап 3.3.7

Перенесем $5$ влево от $\cos (x^{5})$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5}))) - 25 (\cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5}))) - 25 (\cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5}))) - 20 (\sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Этап 3.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $- 5$ на $- 25$ .

$125 (x^{12} (\sin (x^{5}))) - 25 (\cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5}))) - 20 (\sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Этап 3.4.3.2

Умножим $8$ на $- 25$ .

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 200 (\cos (x^{5}) (x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5}))) - 20 (\sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Этап 3.4.3.3

Умножим $5$ на $- 20$ .

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 200 \cos (x^{5}) x^{7} - 100 (x^{7} (\cos (x^{5}))) - 20 (\sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Этап 3.4.3.4

Умножим $3$ на $- 20$ .

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 200 \cos (x^{5}) x^{7} - 100 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 (\sin (x^{5}) (x^{2}))$

Этап 3.4.3.5

Вычтем $100 x^{7} \cos (x^{5})$ из $- 200 \cos (x^{5}) x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.5.1

Перенесем $\cos (x^{5})$ .

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 200 x^{7} \cos (x^{5}) - 100 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 \sin (x^{5}) x^{2}$

Этап 3.4.3.5.2

Вычтем $100 x^{7} \cos (x^{5})$ из $- 200 x^{7} \cos (x^{5})$ .

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 300 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 \sin (x^{5}) x^{2}$

Этап 3.4.4

Изменим порядок членов.

$f''' (x) = 125 x^{12} \sin (x^{5}) - 300 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 x^{2} \sin (x^{5})$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $125 x^{12} \sin (x^{5}) - 300 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 x^{2} \sin (x^{5})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [125 x^{12} \sin (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$ .

$\frac{d}{d x} [125 x^{12} \sin (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [125 x^{12} \sin (x^{5})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $125$ является константой относительно $x$ , производная $125 x^{12} \sin (x^{5})$ по $x$ равна $125 \frac{d}{d x} [x^{12} \sin (x^{5})]$ .

$125 \frac{d}{d x} [x^{12} \sin (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.2.2

$125 (x^{12} \frac{d}{d x} [\sin (x^{5})] + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{5}$ .

$125 (x^{12} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.2.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$125 (x^{12} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{5}$ .

$125 (x^{12} (\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$125 (x^{12} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 12$ .

$125 (x^{12} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.2.6

Умножим $x^{12}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Перенесем $x^{4}$ .

$125 (x^{4} x^{12} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.2.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$125 (x^{4 + 12} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.2.6.3

Добавим $4$ и $12$ .

$125 (x^{16} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.2.7

Перенесем $5$ влево от $\cos (x^{5})$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 300$ является константой относительно $x$ , производная $- 300 x^{7} \cos (x^{5})$ по $x$ равна $- 300 \frac{d}{d x} [x^{7} \cos (x^{5})]$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 \frac{d}{d x} [x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.3.2

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} \frac{d}{d x} [\cos (x^{5})] + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{5}$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.3.3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{5}$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- \sin (x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- \sin (x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.3.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- 5 \sin (x^{5}) x^{4}) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.3.7

Умножим $x^{7}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Перенесем $x^{4}$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{4} x^{7} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{4 + 7} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.3.7.3

Добавим $4$ и $7$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60 x^{2} \sin (x^{5})$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x^{5})]$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x^{5})]$

Этап 4.4.2

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{5})] + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $x^{5}$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4.3.2

Производная $\sin (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\cos (u_{3})$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $x^{5}$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.4.6

Умножим $x^{2}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

Перенесем $x^{4}$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{4} x^{2} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.4.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{4 + 2} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.4.6.3

Добавим $4$ и $2$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.4.7

Перенесем $5$ влево от $\cos (x^{5})$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5}))) + 125 (\sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5}))) + 125 (\sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5}))) + 125 (\sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.5.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Умножим $5$ на $125$ .

$625 (x^{16} (\cos (x^{5}))) + 125 (\sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.5.4.2

Умножим $12$ на $125$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 1500 (\sin (x^{5}) (x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.5.4.3

Умножим $- 5$ на $- 300$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 1500 \sin (x^{5}) x^{11} + 1500 (x^{11} (\sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.5.4.4

Умножим $7$ на $- 300$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 1500 \sin (x^{5}) x^{11} + 1500 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 (\cos (x^{5}) (x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.5.4.5

Добавим $1500 \sin (x^{5}) x^{11}$ и $1500 x^{11} \sin (x^{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.5.1

Перенесем $\sin (x^{5})$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 1500 x^{11} \sin (x^{5}) + 1500 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 \cos (x^{5}) x^{6} - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.5.4.5.2

Добавим $1500 x^{11} \sin (x^{5})$ и $1500 x^{11} \sin (x^{5})$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 \cos (x^{5}) x^{6} - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.5.4.6

Умножим $5$ на $- 60$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 \cos (x^{5}) x^{6} - 300 (x^{6} (\cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Этап 4.5.4.7

Умножим $2$ на $- 60$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 \cos (x^{5}) x^{6} - 300 x^{6} \cos (x^{5}) - 120 (\sin (x^{5}) (x))$

Этап 4.5.4.8

Вычтем $300 x^{6} \cos (x^{5})$ из $- 2100 \cos (x^{5}) x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.8.1

Перенесем $\cos (x^{5})$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 x^{6} \cos (x^{5}) - 300 x^{6} \cos (x^{5}) - 120 \sin (x^{5}) x$

Этап 4.5.4.8.2

Вычтем $300 x^{6} \cos (x^{5})$ из $- 2100 x^{6} \cos (x^{5})$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2400 x^{6} \cos (x^{5}) - 120 \sin (x^{5}) x$

Этап 4.5.5

Изменим порядок членов.

$f^{4} (x) = 625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2400 x^{6} \cos (x^{5}) - 120 x \sin (x^{5})$