Математический анализ Примеры

$4 x \sec (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x \sec (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x \sec (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \sec (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sec (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)$

Этап 1.4.2

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$4 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x (\sec (x) \tan (x))) + 4 \sec (x)$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 4 x \sec (x) \tan (x) + 4 \sec (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x \sec (x) \tan (x) + 4 \sec (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x \sec (x) \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x \sec (x) \tan (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x \sec (x) \tan (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 2.2.2

$4 (x \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 2.2.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$4 (x \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 2.2.4

$4 (x \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 2.2.5

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (x \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 2.2.7

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$4 (x (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 2.2.7.2

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$4 (x (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 2.2.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (x {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 2.2.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 2.2.8

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sec (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))) + 4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.3.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x \sec^{3} (x)) + 4 (\tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)))) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$4 x \sec^{3} (x) + 4 (x (\sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)))) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Этап 2.4.3.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$4 x \sec^{3} (x) + 4 (x (\sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)))) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Этап 2.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x \sec^{3} (x) + 4 (x (\sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1})) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Этап 2.4.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x \sec^{3} (x) + 4 (x (\sec (x) \tan^{2} (x))) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Этап 2.4.3.5

Изменим порядок множителей в $4 \tan (x) \sec (x)$ .

$4 x \sec^{3} (x) + 4 x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 4 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Этап 2.4.3.6

Добавим $4 \sec (x) \tan (x)$ и $4 \sec (x) \tan (x)$ .

$4 x \sec^{3} (x) + 4 x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec (x) \tan (x)$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 4 x \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec (x) \tan (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec (x) \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x \sec^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \sec^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x \sec^{3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x \sec^{3} (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.2.2

$4 (x \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (x)$ .

$4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.2.4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.2.6

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$4 (x (3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (x (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.2.8

Добавим $1$ и $2$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.2.9

Умножим $\sec^{3} (x)$ на $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x \tan^{2} (x) \sec (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x \tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 \frac{d}{d x} [x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.3.2

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x \tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.3.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x \tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.3.4

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\tan (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.3.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.3.6

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.3.8

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x)) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x {\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.3.10

Добавим $1$ и $2$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.3.11

Умножим $\tan^{2} (x)$ на $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \sec (x) \tan (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.4.2

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.4.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.4.4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 3.4.5

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 3.4.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 3.4.5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 3.4.6

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Этап 3.4.7

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Этап 3.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Этап 3.4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.5.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Умножим $3$ на $4$ .

$12 (x (\sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.5.5.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 (x (2 \tan (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.5.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 (x (2 \tan (x) {\sec (x)}^{1 + 2})) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.5.5.4

Добавим $1$ и $2$ .

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 (x (2 \tan (x) \sec^{3} (x))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.5.5.5

Умножим $2$ на $4$ .

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 8 (x (\tan (x) \sec^{3} (x))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.5.5.6

Изменим порядок множителей в $8 x (\tan (x) \sec^{3} (x))$ .

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 8 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 \sec (x) \tan^{2} (x) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.5.5.7

Добавим $12 x \sec^{3} (x) \tan (x)$ и $8 x \sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 \sec (x) \tan^{2} (x) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.5.5.8

Добавим $4 \sec^{3} (x)$ и $8 \sec^{3} (x)$ .

$20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 \sec (x) \tan^{2} (x) + 12 \sec^{3} (x) + 8 \tan^{2} (x) \sec (x)$

Этап 3.5.5.9

Изменим порядок множителей в $4 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec (x) + 12 \sec^{3} (x) + 8 \tan^{2} (x) \sec (x)$

Этап 3.5.5.10

Добавим $4 \tan^{2} (x) \sec (x)$ и $8 \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$f''' (x) = 20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 12 \tan^{2} (x) \sec (x) + 12 \sec^{3} (x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 12 \tan^{2} (x) \sec (x) + 12 \sec^{3} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [20 x \sec^{3} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x \sec^{3} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x \sec^{3} (x) \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x \sec^{3} (x) \tan (x)$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x) \tan (x)]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.2

$20 (x \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.4

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (x)$ .

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.5.2

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (x)$ .

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.6

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.8

Умножим $\sec^{3} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$20 (x (\sec^{2} (x) \sec^{3} (x)) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 (x {\sec (x)}^{2 + 3} + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.8.3

Добавим $2$ и $3$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.9

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.11

Добавим $1$ и $2$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.2.12

Умножим $\sec^{3} (x)$ на $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x \tan^{3} (x) \sec (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x \tan^{3} (x) \sec (x)]$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 \frac{d}{d x} [x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.3.2

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x \tan^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.3.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x \tan^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.3.4

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)] + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.3.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.3.6

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.3.8

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x (\tan^{1} (x) \tan^{3} (x)) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x {\tan (x)}^{1 + 3} \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.3.10

Добавим $1$ и $3$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.3.11

Умножим $\tan^{3} (x)$ на $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 \tan^{2} (x) \sec (x)$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4.2

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4.4.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4.5

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4.6

Умножим $\tan^{2} (x)$ на $\tan (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

Перенесем $\tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4.6.2

Умножим $\tan (x)$ на $\tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.2.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 ({\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4.7

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) {\sec (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.4.9

Добавим $1$ и $2$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Этап 4.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 \sec^{3} (x)$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 4.5.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $\sec (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 4.5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{4}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 4.5.2.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $\sec (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 4.5.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 4.5.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x))$

Этап 4.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x))$

Этап 4.5.6

Добавим $1$ и $2$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Этап 4.5.7

Умножим $3$ на $12$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$20 (x \sec^{5} (x)) + 20 (\tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$20 (x \sec^{5} (x)) + 20 (\tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))) + \sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$20 (x \sec^{5} (x)) + 20 (\tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$20 (x \sec^{5} (x)) + 20 (\tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 20 (x (3 \sec^{3} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 20 (x (3 \sec^{3} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 x \sec^{5} (x) + 20 (x (3 \sec^{3} (x) {\tan (x)}^{1 + 1})) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 20 (x (3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.5

Умножим $3$ на $20$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 60 (x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.6

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 (x (3 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 (x (3 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 2})) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.8

Добавим $1$ и $2$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.9

Умножим $3$ на $4$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 12 (x (\tan^{2} (x) \sec^{3} (x))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.10

Изменим порядок множителей в $12 x (\tan^{2} (x) \sec^{3} (x))$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 12 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 4 \sec (x) \tan^{3} (x) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.11

Добавим $60 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ и $12 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 \sec (x) \tan^{3} (x) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.12

Умножим $2$ на $12$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 \sec (x) \tan^{3} (x) + 12 \tan^{3} (x) \sec (x) + 24 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.13

Изменим порядок множителей в $4 \sec (x) \tan^{3} (x)$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 \tan^{3} (x) \sec (x) + 12 \tan^{3} (x) \sec (x) + 24 \tan (x) \sec^{3} (x) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.14

Добавим $4 \tan^{3} (x) \sec (x)$ и $12 \tan^{3} (x) \sec (x)$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 16 \tan^{3} (x) \sec (x) + 24 \tan (x) \sec^{3} (x) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.15

Добавим $20 \tan (x) \sec^{3} (x)$ и $24 \tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 44 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 16 \tan^{3} (x) \sec (x) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.16

Изменим порядок множителей в $44 \tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 44 \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 16 \tan^{3} (x) \sec (x) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 4.6.6.17

Добавим $44 \sec^{3} (x) \tan (x)$ и $36 \sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$f^{4} (x) = 20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 80 \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 16 \tan^{3} (x) \sec (x)$