Математический анализ Примеры

$6 x e^{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x e^{x}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$6 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Этап 1.4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$6 (x e^{x} + e^{x})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x e^{x}) + 6 e^{x}$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$6 e^{x} x + 6 e^{x}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок множителей в $6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

$f' (x) = 6 x e^{x} + 6 e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 x e^{x} + 6 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x e^{x}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Этап 2.2.2

$6 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Этап 2.2.3

$6 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Этап 2.2.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$6 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 e^{x}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 (x e^{x} + e^{x}) + 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.3.2

$6 (x e^{x} + e^{x}) + 6 e^{x}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x e^{x}) + 6 e^{x} + 6 e^{x}$

Этап 2.4.2

Добавим $6 e^{x}$ и $6 e^{x}$ .

$6 x e^{x} + 12 e^{x}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$6 e^{x} x + 12 e^{x}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $6 e^{x} x + 12 e^{x}$ .

$f'' (x) = 6 x e^{x} + 12 e^{x}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $6 x e^{x} + 12 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [12 e^{x}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x e^{x}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [12 e^{x}]$

Этап 3.2.2

$6 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [12 e^{x}]$

Этап 3.2.3

$6 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [12 e^{x}]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [12 e^{x}]$

Этап 3.2.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$6 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [12 e^{x}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 e^{x}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 (x e^{x} + e^{x}) + 12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.3.2

$6 (x e^{x} + e^{x}) + 12 e^{x}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x e^{x}) + 6 e^{x} + 12 e^{x}$

Этап 3.4.2

Добавим $6 e^{x}$ и $12 e^{x}$ .

$6 x e^{x} + 18 e^{x}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок членов.

$6 e^{x} x + 18 e^{x}$

Этап 3.4.4

Изменим порядок множителей в $6 e^{x} x + 18 e^{x}$ .

$f''' (x) = 6 x e^{x} + 18 e^{x}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $6 x e^{x} + 18 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [18 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [18 e^{x}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x e^{x}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [18 e^{x}]$

Этап 4.2.2

$6 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [18 e^{x}]$

Этап 4.2.3

$6 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [18 e^{x}]$

Этап 4.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [18 e^{x}]$

Этап 4.2.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$6 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [18 e^{x}]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 e^{x}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 (x e^{x} + e^{x}) + 18 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 4.3.2

$6 (x e^{x} + e^{x}) + 18 e^{x}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x e^{x}) + 6 e^{x} + 18 e^{x}$

Этап 4.4.2

Добавим $6 e^{x}$ и $18 e^{x}$ .

$6 x e^{x} + 24 e^{x}$

Этап 4.4.3

Изменим порядок членов.

$6 e^{x} x + 24 e^{x}$

Этап 4.4.4

Изменим порядок множителей в $6 e^{x} x + 24 e^{x}$ .

$f^{4} (x) = 6 x e^{x} + 24 e^{x}$