Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{- x^{5}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{5}$ .

$e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$e^{- x^{5}} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$e^{- x^{5}} (- (5 x^{4}))$

Этап 1.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$e^{- x^{5}} (- 5 x^{4})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок множителей в $e^{- x^{5}} (- 5 x^{4})$ .

$- 5 e^{- x^{5}} x^{4}$

Этап 1.3.2

Изменим порядок множителей в $- 5 e^{- x^{5}} x^{4}$ .

$f' (x) = - 5 x^{4} e^{- x^{5}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{4} e^{- x^{5}}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- x^{5}}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- x^{5}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = e^{- x^{5}}$ .

$- 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- x^{5}}] + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{5}$ .

$- 5 (x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.3.2

$- 5 (x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{5}$ .

$- 5 (x^{4} (e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 5 (x^{4} (e^{- x^{5}} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 5 (x^{4} (e^{- x^{5}} (- (5 x^{4}))) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.4.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 (x^{4} (e^{- x^{5}} (- 5 x^{4})) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.5

Умножим $x^{4}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- 5 (x^{4} x^{4} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 5 (x^{4 + 4} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.5.3

Добавим $4$ и $4$ .

$- 5 (x^{8} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.6

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- x^{5}}$ .

$- 5 (x^{8} (- 5 \cdot e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 5 (x^{8} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (4 x^{3}))$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 (x^{8} (- 5 e^{- x^{5}})) - 5 (e^{- x^{5}} (4 x^{3}))$

Этап 2.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$25 (x^{8} (e^{- x^{5}})) - 5 (e^{- x^{5}} (4 x^{3}))$

Этап 2.8.2.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$25 x^{8} e^{- x^{5}} - 20 e^{- x^{5}} x^{3}$

Этап 2.8.3

Изменим порядок членов.

$25 e^{- x^{5}} x^{8} - 20 e^{- x^{5}} x^{3}$

Этап 2.8.4

Изменим порядок множителей в $25 e^{- x^{5}} x^{8} - 20 e^{- x^{5}} x^{3}$ .

$f'' (x) = 25 x^{8} e^{- x^{5}} - 20 x^{3} e^{- x^{5}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $25 x^{8} e^{- x^{5}} - 20 x^{3} e^{- x^{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [25 x^{8} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{8} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [25 x^{8} e^{- x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 x^{8} e^{- x^{5}}$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [x^{8} e^{- x^{5}}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{8} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.2.2

$25 (x^{8} \frac{d}{d x} [e^{- x^{5}}] + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x^{5}$ .

$25 (x^{8} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$25 (x^{8} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x^{5}$ .

$25 (x^{8} (e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$25 (x^{8} (e^{- x^{5}} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$25 (x^{8} (e^{- x^{5}} (- (5 x^{4}))) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$25 (x^{8} (e^{- x^{5}} (- (5 x^{4}))) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.2.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$25 (x^{8} (e^{- x^{5}} (- 5 x^{4})) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.2.8

Умножим $x^{8}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Перенесем $x^{4}$ .

$25 (x^{4} x^{8} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.2.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 (x^{4 + 8} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.2.8.3

Добавим $4$ и $8$ .

$25 (x^{12} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.2.9

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- x^{5}}$ .

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3} e^{- x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x^{3} e^{- x^{5}}$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{5}}]$ .

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{5}}]$

Этап 3.3.2

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x^{5}}] + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x^{5}$ .

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x^{5}$ .

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (e^{- x^{5}} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (e^{- x^{5}} (- (5 x^{4}))) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (e^{- x^{5}} (- (5 x^{4}))) + e^{- x^{5}} (3 x^{2}))$

Этап 3.3.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (e^{- x^{5}} (- 5 x^{4})) + e^{- x^{5}} (3 x^{2}))$

Этап 3.3.8

Умножим $x^{3}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Перенесем $x^{4}$ .

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{4} x^{3} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (3 x^{2}))$

Этап 3.3.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{4 + 3} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (3 x^{2}))$

Этап 3.3.8.3

Добавим $4$ и $3$ .

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (3 x^{2}))$

Этап 3.3.9

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- x^{5}}$ .

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (3 x^{2}))$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}})) + 25 (e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (3 x^{2}))$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$25 (x^{12} (- 5 e^{- x^{5}})) + 25 (e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (- 5 e^{- x^{5}})) - 20 (e^{- x^{5}} (3 x^{2}))$

Этап 3.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $- 5$ на $25$ .

$- 125 (x^{12} (e^{- x^{5}})) + 25 (e^{- x^{5}} (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (- 5 e^{- x^{5}})) - 20 (e^{- x^{5}} (3 x^{2}))$

Этап 3.4.3.2

Умножим $8$ на $25$ .

$- 125 x^{12} e^{- x^{5}} + 200 (e^{- x^{5}} (x^{7})) - 20 (x^{7} (- 5 e^{- x^{5}})) - 20 (e^{- x^{5}} (3 x^{2}))$

Этап 3.4.3.3

Умножим $- 5$ на $- 20$ .

$- 125 x^{12} e^{- x^{5}} + 200 e^{- x^{5}} x^{7} + 100 (x^{7} (e^{- x^{5}})) - 20 (e^{- x^{5}} (3 x^{2}))$

Этап 3.4.3.4

Умножим $3$ на $- 20$ .

$- 125 x^{12} e^{- x^{5}} + 200 e^{- x^{5}} x^{7} + 100 x^{7} e^{- x^{5}} - 60 (e^{- x^{5}} (x^{2}))$

Этап 3.4.3.5

Добавим $200 e^{- x^{5}} x^{7}$ и $100 x^{7} e^{- x^{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.5.1

Перенесем $e^{- x^{5}}$ .

$- 125 x^{12} e^{- x^{5}} + 200 x^{7} e^{- x^{5}} + 100 x^{7} e^{- x^{5}} - 60 e^{- x^{5}} x^{2}$

Этап 3.4.3.5.2

Добавим $200 x^{7} e^{- x^{5}}$ и $100 x^{7} e^{- x^{5}}$ .

$- 125 x^{12} e^{- x^{5}} + 300 x^{7} e^{- x^{5}} - 60 e^{- x^{5}} x^{2}$

Этап 3.4.4

Изменим порядок членов.

$- 125 e^{- x^{5}} x^{12} + 300 e^{- x^{5}} x^{7} - 60 e^{- x^{5}} x^{2}$

Этап 3.4.5

Изменим порядок множителей в $- 125 e^{- x^{5}} x^{12} + 300 e^{- x^{5}} x^{7} - 60 e^{- x^{5}} x^{2}$ .

$f''' (x) = - 125 x^{12} e^{- x^{5}} + 300 x^{7} e^{- x^{5}} - 60 x^{2} e^{- x^{5}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $- 125 x^{12} e^{- x^{5}} + 300 x^{7} e^{- x^{5}} - 60 x^{2} e^{- x^{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 125 x^{12} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 125 x^{12} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 125 x^{12} e^{- x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 125$ является константой относительно $x$ , производная $- 125 x^{12} e^{- x^{5}}$ по $x$ равна $- 125 \frac{d}{d x} [x^{12} e^{- x^{5}}]$ .

$- 125 \frac{d}{d x} [x^{12} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.2.2

$- 125 (x^{12} \frac{d}{d x} [e^{- x^{5}}] + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x^{5}$ .

$- 125 (x^{12} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.2.3.2

$- 125 (x^{12} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x^{5}$ .

$- 125 (x^{12} (e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 125 (x^{12} (e^{- x^{5}} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 125 (x^{12} (e^{- x^{5}} (- (5 x^{4}))) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 12$ .

$- 125 (x^{12} (e^{- x^{5}} (- (5 x^{4}))) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.2.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 125 (x^{12} (e^{- x^{5}} (- 5 x^{4})) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.2.8

Умножим $x^{12}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- 125 (x^{4} x^{12} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.2.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 125 (x^{4 + 12} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.2.8.3

Добавим $4$ и $12$ .

$- 125 (x^{16} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.2.9

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- x^{5}}$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [300 x^{7} e^{- x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $300$ является константой относительно $x$ , производная $300 x^{7} e^{- x^{5}}$ по $x$ равна $300 \frac{d}{d x} [x^{7} e^{- x^{5}}]$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 \frac{d}{d x} [x^{7} e^{- x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.3.2

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{7} \frac{d}{d x} [e^{- x^{5}}] + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x^{5}$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{7} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.3.3.2

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{7} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x^{5}$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{7} (e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{7} (e^{- x^{5}} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{7} (e^{- x^{5}} (- (5 x^{4}))) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{7} (e^{- x^{5}} (- (5 x^{4}))) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.3.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{7} (e^{- x^{5}} (- 5 x^{4})) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.3.8

Умножим $x^{7}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{4} x^{7} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.3.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{4 + 7} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.3.8.3

Добавим $4$ и $7$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.3.9

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- x^{5}}$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2} e^{- x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60 x^{2} e^{- x^{5}}$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{5}}]$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{5}}]$

Этап 4.4.2

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{5}}] + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $- x^{5}$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $- x^{5}$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (e^{- x^{5}} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (e^{- x^{5}} (- (5 x^{4}))) + e^{- x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (e^{- x^{5}} (- (5 x^{4}))) + e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.4.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (e^{- x^{5}} (- 5 x^{4})) + e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.4.8

Умножим $x^{2}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.8.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{4} x^{2} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.4.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{4 + 2} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.4.8.3

Добавим $4$ и $2$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (e^{- x^{5}} \cdot (- 5)) + e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.4.9

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- x^{5}}$ .

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}})) - 125 (e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}})) - 125 (e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}})) + 300 (e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (- 5 e^{- x^{5}}) + e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 125 (x^{16} (- 5 e^{- x^{5}})) - 125 (e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}})) + 300 (e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (- 5 e^{- x^{5}})) - 60 (e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.5.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Умножим $- 5$ на $- 125$ .

$625 (x^{16} (e^{- x^{5}})) - 125 (e^{- x^{5}} (12 x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}})) + 300 (e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (- 5 e^{- x^{5}})) - 60 (e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.5.4.2

Умножим $12$ на $- 125$ .

$625 x^{16} e^{- x^{5}} - 1500 (e^{- x^{5}} (x^{11})) + 300 (x^{11} (- 5 e^{- x^{5}})) + 300 (e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (- 5 e^{- x^{5}})) - 60 (e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.5.4.3

Умножим $- 5$ на $300$ .

$625 x^{16} e^{- x^{5}} - 1500 e^{- x^{5}} x^{11} - 1500 (x^{11} (e^{- x^{5}})) + 300 (e^{- x^{5}} (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (- 5 e^{- x^{5}})) - 60 (e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.5.4.4

Умножим $7$ на $300$ .

$625 x^{16} e^{- x^{5}} - 1500 e^{- x^{5}} x^{11} - 1500 x^{11} e^{- x^{5}} + 2100 (e^{- x^{5}} (x^{6})) - 60 (x^{6} (- 5 e^{- x^{5}})) - 60 (e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.5.4.5

Вычтем $1500 x^{11} e^{- x^{5}}$ из $- 1500 e^{- x^{5}} x^{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.5.1

Перенесем $e^{- x^{5}}$ .

$625 x^{16} e^{- x^{5}} - 1500 x^{11} e^{- x^{5}} - 1500 x^{11} e^{- x^{5}} + 2100 e^{- x^{5}} x^{6} - 60 (x^{6} (- 5 e^{- x^{5}})) - 60 (e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.5.4.5.2

Вычтем $1500 x^{11} e^{- x^{5}}$ из $- 1500 x^{11} e^{- x^{5}}$ .

$625 x^{16} e^{- x^{5}} - 3000 x^{11} e^{- x^{5}} + 2100 e^{- x^{5}} x^{6} - 60 (x^{6} (- 5 e^{- x^{5}})) - 60 (e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.5.4.6

Умножим $- 5$ на $- 60$ .

$625 x^{16} e^{- x^{5}} - 3000 x^{11} e^{- x^{5}} + 2100 e^{- x^{5}} x^{6} + 300 (x^{6} (e^{- x^{5}})) - 60 (e^{- x^{5}} (2 x))$

Этап 4.5.4.7

Умножим $2$ на $- 60$ .

$625 x^{16} e^{- x^{5}} - 3000 x^{11} e^{- x^{5}} + 2100 e^{- x^{5}} x^{6} + 300 x^{6} e^{- x^{5}} - 120 (e^{- x^{5}} (x))$

Этап 4.5.4.8

Добавим $2100 e^{- x^{5}} x^{6}$ и $300 x^{6} e^{- x^{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.8.1

Перенесем $e^{- x^{5}}$ .

$625 x^{16} e^{- x^{5}} - 3000 x^{11} e^{- x^{5}} + 2100 x^{6} e^{- x^{5}} + 300 x^{6} e^{- x^{5}} - 120 e^{- x^{5}} x$

Этап 4.5.4.8.2

Добавим $2100 x^{6} e^{- x^{5}}$ и $300 x^{6} e^{- x^{5}}$ .

$625 x^{16} e^{- x^{5}} - 3000 x^{11} e^{- x^{5}} + 2400 x^{6} e^{- x^{5}} - 120 e^{- x^{5}} x$

Этап 4.5.5

Изменим порядок членов.

$625 e^{- x^{5}} x^{16} - 3000 e^{- x^{5}} x^{11} + 2400 e^{- x^{5}} x^{6} - 120 e^{- x^{5}} x$

Этап 4.5.6

Изменим порядок множителей в $625 e^{- x^{5}} x^{16} - 3000 e^{- x^{5}} x^{11} + 2400 e^{- x^{5}} x^{6} - 120 e^{- x^{5}} x$ .

$f^{4} (x) = 625 x^{16} e^{- x^{5}} - 3000 x^{11} e^{- x^{5}} + 2400 x^{6} e^{- x^{5}} - 120 x e^{- x^{5}}$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $625 x^{16} e^{- x^{5}} - 3000 x^{11} e^{- x^{5}} + 2400 x^{6} e^{- x^{5}} - 120 x e^{- x^{5}}$ .

$625 x^{16} e^{- x^{5}} - 3000 x^{11} e^{- x^{5}} + 2400 x^{6} e^{- x^{5}} - 120 x e^{- x^{5}}$