Математический анализ Примеры

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=9x}$.

Поскольку ${\displaystyle 9}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 9x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 9\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 9}$ на ${\displaystyle 1}$.

Перенесем ${\displaystyle 9}$ влево от ${\displaystyle e^{9x}}$.

Поскольку ${\displaystyle 7}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 7\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 7\frac{d}{dx}\left[\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)\right]}$.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=\cos \left(x\right)}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\sin \left(x\right)}$.

Производная ${\displaystyle \sin \left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$.

Производная ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\sin \left(x\right)}$.

Возведем ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Возведем ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 1}$.

Возведем ${\displaystyle \sin \left(x\right)}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Возведем ${\displaystyle \sin \left(x\right)}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 1}$.

Применим свойство дистрибутивности.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 7}$.

Поскольку ${\displaystyle 9}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 9e^{9x}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 9\frac{d}{dx}\left[e^{9x}\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=9x}$.

Поскольку ${\displaystyle 9}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 9x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 9\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 9}$ на ${\displaystyle 1}$.

Перенесем ${\displaystyle 9}$ влево от ${\displaystyle e^{9x}}$.

Умножим ${\displaystyle 9}$ на ${\displaystyle 9}$.

Поскольку ${\displaystyle 7}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 7{\cos }^2\left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 7\frac{d}{dx}\left[{\cos }^2\left(x\right)\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\cos \left(x\right)}$.

Производная ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\sin \left(x\right)}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 2}$.

Умножим ${\displaystyle -2}$ на ${\displaystyle 7}$.

Поскольку ${\displaystyle -7}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -7{\sin }^2\left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -7\frac{d}{dx}\left[{\sin }^2\left(x\right)\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\sin \left(x\right)}$.

Производная ${\displaystyle \sin \left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle -7}$.

Объединим термины.

Изменим порядок членов.

Поскольку ${\displaystyle -28}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -28\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -28\frac{d}{dx}\left[\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)\right]}$.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=\cos \left(x\right)}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\sin \left(x\right)}$.

Производная ${\displaystyle \sin \left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$.

Производная ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\sin \left(x\right)}$.

Возведем ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Возведем ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 1}$.

Возведем ${\displaystyle \sin \left(x\right)}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Возведем ${\displaystyle \sin \left(x\right)}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 1}$.

Поскольку ${\displaystyle 81}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 81e^{9x}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 81\frac{d}{dx}\left[e^{9x}\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=9x}$.

Поскольку ${\displaystyle 9}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 9x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 9\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 9}$ на ${\displaystyle 1}$.

Перенесем ${\displaystyle 9}$ влево от ${\displaystyle e^{9x}}$.

Умножим ${\displaystyle 9}$ на ${\displaystyle 81}$.

Применим свойство дистрибутивности.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle -28}$.

Изменим порядок членов.

Поскольку ${\displaystyle 729}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 729e^{9x}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 729\frac{d}{dx}\left[e^{9x}\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=9x}$.

Поскольку ${\displaystyle 9}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 9x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 9\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 9}$ на ${\displaystyle 1}$.

Перенесем ${\displaystyle 9}$ влево от ${\displaystyle e^{9x}}$.

Умножим ${\displaystyle 9}$ на ${\displaystyle 729}$.

Поскольку ${\displaystyle -28}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -28{\cos }^2\left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -28\frac{d}{dx}\left[{\cos }^2\left(x\right)\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\cos \left(x\right)}$.