Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{3} (x^{2} - 4)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3} (x^{2} - 4)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

$3 (x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 (x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x^{3} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$3 (x^{3} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.4

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.4.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (x^{1} x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (x^{1 + 3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.4.3

Добавим $1$ и $3$ .

$3 (x^{4} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.5

Перенесем $2$ влево от $x^{4}$ .

$3 (2 \cdot x^{4} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (2 x^{4} + (x^{2} - 4) (3 x^{2}))$

Этап 1.7

Перенесем $3$ влево от $x^{2} - 4$ .

$3 (2 x^{4} + 3 \cdot (x^{2} - 4) x^{2})$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x^{4} + (3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2})$

Этап 1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x^{4} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 4 x^{2})$

Этап 1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x^{4}) + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Этап 1.8.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Этап 1.8.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 3 (3 (x^{2} x^{2})) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Этап 1.8.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2 + 2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Этап 1.8.4.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{4}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Этап 1.8.4.3

Умножим $3$ на $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Этап 1.8.4.4

Умножим $3$ на $- 4$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (- 12 x^{2})$

Этап 1.8.4.5

Умножим $- 12$ на $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} - 36 x^{2}$

Этап 1.8.4.6

Добавим $6 x^{4}$ и $9 x^{4}$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 36 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $15 x^{4} - 36 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{4}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x^{2}$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{3} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$60 x^{3} - 36 (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 36$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 72 x$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $60 x^{3} - 72 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $60$ является константой относительно $x$ , производная $60 x^{3}$ по $x$ равна $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $60$ .

$180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 72$ является константой относительно $x$ , производная $- 72 x$ по $x$ равна $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$180 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$180 x^{2} - 72 \cdot 1$

Этап 3.3.3

Умножим $- 72$ на $1$ .

$f''' (x) = 180 x^{2} - 72$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $180 x^{2} - 72$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [180 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $180$ является константой относительно $x$ , производная $180 x^{2}$ по $x$ равна $180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$180 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72]$

Этап 4.2.3

Умножим $2$ на $180$ .

$360 x + \frac{d}{d x} [- 72]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 72$ является константой относительно $x$ , производная $- 72$ относительно $x$ равна $0$ .

$360 x + 0$

Этап 4.3.2

Добавим $360 x$ и $0$ .

$f^{4} (x) = 360 x$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $360 x$ .

$360 x$