Математический анализ Примеры

$y = 3 {(x^{2} + 3 x)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 {(x^{2} + 3 x)}^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{3})$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3 x$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3 x$ .

$f' (x) = 3 (3 {(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x))$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (3 x))$

Этап 1.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3 \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3 \cdot 1)$

Этап 1.3.6

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3))$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x^{2} + 3 x)}^{2}$ и $g (x) = 2 x + 3$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 3) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Этап 2.3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 + 0) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \cdot 2 + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Этап 2.3.6.2

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} + 3 x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 9 (2 \cdot {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3 x$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3 x$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (2 (x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $2$ влево от $2 x + 3$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 \cdot ((2 x + 3) (x^{2} + 3 x)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Этап 2.5.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x)))$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} (3 x)))$

Этап 2.5.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 2.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \cdot 1))$

Этап 2.5.6

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3))$

Этап 2.6

Возведем $2 x + 3$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 ((2 x + 3) (2 x + 3)) (x^{2} + 3 x))$

Этап 2.7

Возведем $2 x + 3$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 ((2 x + 3) (2 x + 3)) (x^{2} + 3 x))$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 {(2 x + 3)}^{1 + 1} (x^{2} + 3 x))$

Этап 2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2}) + 9 (2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

Этап 2.10.2

Умножим $2$ на $9$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 9 (2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

Этап 2.10.3

Умножим $2$ на $9$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 18 ({(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

Этап 2.10.4

Вынесем множитель $18 (x^{2} + 3 x)$ из $18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Вынесем множитель $18 (x^{2} + 3 x)$ из $18 {(x^{2} + 3 x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$

Этап 2.10.4.2

Вынесем множитель $18 (x^{2} + 3 x)$ из $18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 (x^{2} + 3 x) ({(2 x + 3)}^{2})$

Этап 2.10.4.3

Вынесем множитель $18 (x^{2} + 3 x)$ из $18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 (x^{2} + 3 x) ({(2 x + 3)}^{2})$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

Этап 2.10.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 18 (3 x)) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

Этап 2.10.6

Умножим $3$ на $18$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

Этап 2.10.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.7.1

Перепишем ${(2 x + 3)}^{2}$ в виде $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + (2 x + 3) (2 x + 3))$

Этап 2.10.7.2

Развернем $(2 x + 3) (2 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.7.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))$

Этап 2.10.7.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))$

Этап 2.10.7.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Этап 2.10.7.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.7.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Этап 2.10.7.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.7.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Этап 2.10.7.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Этап 2.10.7.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Этап 2.10.7.3.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Этап 2.10.7.3.1.5

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)$

Этап 2.10.7.3.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)$

Этап 2.10.7.3.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 12 x + 9)$

Этап 2.10.8

Добавим $x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 3 x + 12 x + 9)$

Этап 2.10.9

Добавим $3 x$ и $12 x$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 15 x + 9)$

Этап 2.10.10

Развернем $(18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 15 x + 9)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = 18 x^{2} (5 x^{2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{2} x^{2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.11.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = 18 \cdot (5 (x^{2} x^{2})) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{2 + 2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{4}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.3

Умножим $18$ на $5$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{2} x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.11.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 (x \cdot x^{2})) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.11.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 (x \cdot x^{2})) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{1 + 2}) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{3}) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.6

Умножим $18$ на $15$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.7

Умножим $9$ на $18$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x \cdot x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.9

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.11.9.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 (x^{2} x)) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.9.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.11.9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 (x^{2} x)) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x^{2 + 1}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.9.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x^{3}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.10

Умножим $54$ на $5$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 x \cdot x) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.12

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.11.12.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 (x \cdot x)) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.12.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 x^{2}) + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.13

Умножим $54$ на $15$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 810 x^{2} + 54 x \cdot 9$

Этап 2.10.11.14

Умножим $9$ на $54$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 810 x^{2} + 486 x$

Этап 2.10.12

Добавим $270 x^{3}$ и $270 x^{3}$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 540 x^{3} + 162 x^{2} + 810 x^{2} + 486 x$

Этап 2.10.13

Добавим $162 x^{2}$ и $810 x^{2}$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 540 x^{3} + 972 x^{2} + 486 x$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $90 x^{4} + 540 x^{3} + 972 x^{2} + 486 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [540 x^{3}] + \frac{d}{d x} [972 x^{2}] + \frac{d}{d x} [486 x]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (90 x^{4}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [90 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $90$ является константой относительно $x$ , производная $90 x^{4}$ по $x$ равна $90 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f''' (x) = 90 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f''' (x) = 90 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Этап 3.2.3

Умножим $4$ на $90$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [540 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $540$ является константой относительно $x$ , производная $540 x^{3}$ по $x$ равна $540 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 540 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 540 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Этап 3.3.3

Умножим $3$ на $540$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [972 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $972$ является константой относительно $x$ , производная $972 x^{2}$ по $x$ равна $972 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 972 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 972 (2 x) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $972$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + \frac{d}{d x} (486 x)$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [486 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $486$ является константой относительно $x$ , производная $486 x$ по $x$ равна $486 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486 \cdot 1$

Этап 3.5.3

Умножим $486$ на $1$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1620 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1944 x] + \frac{d}{d x} [486]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (360 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [360 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $360$ является константой относительно $x$ , производная $360 x^{3}$ по $x$ равна $360 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f^{4} (x) = 360 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f^{4} (x) = 360 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Этап 4.2.3

Умножим $3$ на $360$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [1620 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $1620$ является константой относительно $x$ , производная $1620 x^{2}$ по $x$ равна $1620 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 1620 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 1620 (2 x) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Этап 4.3.3

Умножим $2$ на $1620$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Этап 4.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [1944 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $1944$ является константой относительно $x$ , производная $1944 x$ по $x$ равна $1944 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (486)$

Этап 4.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (486)$

Этап 4.4.3

Умножим $1944$ на $1$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 + \frac{d}{d x} (486)$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Поскольку $486$ является константой относительно $x$ , производная $486$ относительно $x$ равна $0$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 + 0$

Этап 4.5.2

Добавим $1080 x^{2} + 3240 x + 1944$ и $0$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944$