Математический анализ Примеры

$y = 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x) \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.8

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Этап 1.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Этап 1.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Этап 1.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Этап 1.12

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Этап 1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos^{2} (x) + 2 (- \sin^{2} (x))$

Этап 1.13.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (x)$ .

$2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$

Этап 2.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$

Этап 2.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$

Этап 2.2.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin^{2} (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x) - 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x) - 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x) - 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x) \cos (x)$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок множителей в $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.4.2

Вычтем $4 \cos (x) \sin (x)$ из $- 4 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (x) \sin (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 \cos (x) \sin (x)$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

Этап 3.2

$- 8 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- 8 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- 8 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 8 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.8

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Этап 3.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 8 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Этап 3.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 8 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Этап 3.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 8 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Этап 3.12

Добавим $1$ и $1$ .

$- 8 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Этап 3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 8 \cos^{2} (x) - 8 (- \sin^{2} (x))$

Этап 3.13.2

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f''' (x) = - 8 \cos^{2} (x) + 8 \sin^{2} (x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $- 8 \cos^{2} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 8 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Этап 4.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (x)$ .

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Этап 4.2.2.2

$- 8 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Этап 4.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (x)$ .

$- 8 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Этап 4.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 8 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Этап 4.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 8 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Этап 4.2.5

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \sin^{2} (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + 8 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 4.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4.3.2.2

$16 \cos (x) \sin (x) + 8 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + 8 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + 8 (2 \sin (x) \cos (x))$

Этап 4.3.4

Умножим $2$ на $8$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + 16 \sin (x) \cos (x)$

Этап 4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Изменим порядок множителей в $16 \sin (x) \cos (x)$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + 16 \cos (x) \sin (x)$

Этап 4.4.2

Добавим $16 \cos (x) \sin (x)$ и $16 \cos (x) \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = 32 \cos (x) \sin (x)$