Математический анализ Примеры

$y = \ln (\sin (x))$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок множителей в $\csc (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \csc (x)$

Этап 1.4.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 1.4.3

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1.4.4

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$f' (x) = \cot (x)$

Этап 2

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - \csc^{2} (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \csc^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\csc (x)$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x)$ .

$- (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 3.4

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Этап 3.6

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

Этап 3.7

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Этап 3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f''' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \csc^{2} (x)$ и $g (x) = \cot (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 4.3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 4.4

Умножим $\csc^{2} (x)$ на $\csc^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем $\csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 4.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$2 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перенесем $- 1$ влево от $\csc^{4} (x)$ .

$2 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 4.5.2

Перепишем $- 1 \csc^{4} (x)$ в виде $- \csc^{4} (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Этап 4.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Этап 4.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Этап 4.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Этап 4.7

Перенесем $2$ влево от $\cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 4.8

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Этап 4.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Этап 4.10

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

Этап 4.11

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

Этап 4.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

Этап 4.13

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

Этап 4.14

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

Этап 4.15

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

Этап 4.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

Этап 4.17

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Этап 4.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- \csc^{4} (x)) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Этап 4.18.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Этап 4.18.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Этап 4.18.3

Изменим порядок членов.

$f^{4} (x) = - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$