Математический анализ Примеры

$y = 6 x \sin (x^{2})$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x \sin (x^{2})$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x \sin (x^{2}))$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$f' (x) = 6 (x \frac{d}{d x} (\sin (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f' (x) = 6 (x (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f' (x) = 6 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f' (x) = 6 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 6 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 6 (x \cdot x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 6 (x \cdot x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 6 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 6 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.8.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (x^{2})$ .

$f' (x) = 6 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Этап 1.10

Умножим $\sin (x^{2})$ на $1$ .

$f' (x) = 6 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Этап 1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 6 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) + 6 \sin (x^{2})$

Этап 1.11.2

Умножим $2$ на $6$ .

$f' (x) = 12 x^{2} \cos (x^{2}) + 6 \sin (x^{2})$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $12 x^{2} \cos (x^{2}) + 6 \sin (x^{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [6 \sin (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2} \cos (x^{2})) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x^{2}))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2} \cos (x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2} \cos (x^{2})$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{2})]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2} \cos (x^{2})) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x^{2}))$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = 12 (x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x^{2}))$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (\cos (u_{1})) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x^{2}))$

Этап 2.2.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$f'' (x) = 12 (x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x^{2}))$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 (x^{2} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x^{2}))$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x^{2}))$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x^{2}))$

Этап 2.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 12 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x^{2}))$

Этап 2.2.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = 12 (x \cdot x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x^{2}))$

Этап 2.2.7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 12 (x \cdot x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x^{2}))$

Этап 2.2.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 12 (x^{1 + 2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x^{2}))$

Этап 2.2.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = 12 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x^{2}))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 \sin (x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \sin (x^{2})$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ .

$f'' (x) = 12 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 6 \frac{d}{d x} (\sin (x^{2}))$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 6 (\frac{d}{d u (2)} (\sin (u_{2})) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.3.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$f'' (x) = 12 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 6 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 6 (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 6 (\cos (x^{2}) (2 x))$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = 12 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 12 \cos (x^{2}) x$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 12 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2}))) + 12 (\cos (x^{2}) (2 x)) + 12 \cos (x^{2}) x$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $- 2$ на $12$ .

$f'' (x) = - 24 (x^{3} (\sin (x^{2}))) + 12 (\cos (x^{2}) (2 x)) + 12 \cos (x^{2}) x$

Этап 2.4.2.2

Умножим $2$ на $12$ .

$f'' (x) = - 24 x^{3} \sin (x^{2}) + 24 (\cos (x^{2}) (x)) + 12 \cos (x^{2}) x$

Этап 2.4.2.3

Добавим $24 \cos (x^{2}) x$ и $12 \cos (x^{2}) x$ .

$f'' (x) = - 24 x^{3} \sin (x^{2}) + 36 \cos (x^{2}) x$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - 24 x^{3} \sin (x^{2}) + 36 x \cos (x^{2})$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 24 x^{3} \sin (x^{2}) + 36 x \cos (x^{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3} \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [36 x \cos (x^{2})]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- 24 x^{3} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 x \cos (x^{2}))$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3} \sin (x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x^{3} \sin (x^{2})$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - 24 \frac{d}{d x} (x^{3} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 x \cos (x^{2}))$

Этап 3.2.2

$f''' (x) = - 24 (x^{3} \frac{d}{d x} (\sin (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (36 x \cos (x^{2}))$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (36 x \cos (x^{2}))$

Этап 3.2.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{3} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (36 x \cos (x^{2}))$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{3} (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (36 x \cos (x^{2}))$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{3} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (36 x \cos (x^{2}))$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{3} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 x \cos (x^{2}))$

Этап 3.2.6

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Перенесем $x$ .

$f''' (x) = - 24 (x \cdot x^{3} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 x \cos (x^{2}))$

Этап 3.2.6.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f''' (x) = - 24 (x \cdot x^{3} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 x \cos (x^{2}))$

Этап 3.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = - 24 (x^{1 + 3} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 x \cos (x^{2}))$

Этап 3.2.6.3

Добавим $1$ и $3$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 x \cos (x^{2}))$

Этап 3.2.7

Перенесем $2$ влево от $\cos (x^{2})$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 x \cos (x^{2}))$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x \cos (x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x \cos (x^{2})$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 \frac{d}{d x} (x \cos (x^{2}))$

Этап 3.3.2

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 3.3.3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Этап 3.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Этап 3.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Этап 3.3.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Этап 3.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Этап 3.3.10

Добавим $1$ и $1$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Этап 3.3.11

Умножим $\cos (x^{2})$ на $1$ .

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2}))) - 24 (\sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = - 24 (x^{4} (2 \cos (x^{2}))) - 24 (\sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 36 \cos (x^{2})$

Этап 3.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $2$ на $- 24$ .

$f''' (x) = - 48 (x^{4} (\cos (x^{2}))) - 24 (\sin (x^{2}) (3 x^{2})) + 36 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 36 \cos (x^{2})$

Этап 3.4.3.2

Умножим $3$ на $- 24$ .

$f''' (x) = - 48 x^{4} \cos (x^{2}) - 72 (\sin (x^{2}) (x^{2})) + 36 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 36 \cos (x^{2})$

Этап 3.4.3.3

Умножим $- 2$ на $36$ .

$f''' (x) = - 48 x^{4} \cos (x^{2}) - 72 \sin (x^{2}) x^{2} - 72 (x^{2} (\sin (x^{2}))) + 36 \cos (x^{2})$

Этап 3.4.3.4

Вычтем $72 x^{2} \sin (x^{2})$ из $- 72 \sin (x^{2}) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1

Перенесем $\sin (x^{2})$ .

$f''' (x) = - 48 x^{4} \cos (x^{2}) - 72 x^{2} \sin (x^{2}) - 72 x^{2} \sin (x^{2}) + 36 \cos (x^{2})$

Этап 3.4.3.4.2

Вычтем $72 x^{2} \sin (x^{2})$ из $- 72 x^{2} \sin (x^{2})$ .

$f''' (x) = - 48 x^{4} \cos (x^{2}) - 144 x^{2} \sin (x^{2}) + 36 \cos (x^{2})$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $- 48 x^{4} \cos (x^{2}) - 144 x^{2} \sin (x^{2}) + 36 \cos (x^{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 48 x^{4} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 144 x^{2} \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [36 \cos (x^{2})]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- 48 x^{4} \cos (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 48 x^{4} \cos (x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x^{4} \cos (x^{2})$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (x^{2})]$ .

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} (x^{4} \cos (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.2.2

$f^{4} (x) = - 48 (x^{4} \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{4} (\frac{d}{d u (1)} (\cos (u_{1})) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.2.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{4} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{4} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{4} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{4} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.2.7

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Перенесем $x$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x \cdot x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.2.7.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x \cdot x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.2.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = - 48 (x^{1 + 4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.2.7.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 144 x^{2} \sin (x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 144$ является константой относительно $x$ , производная $- 144 x^{2} \sin (x^{2})$ по $x$ равна $- 144 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x^{2})]$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.3.2

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{2} (\frac{d}{d u (2)} (\sin (u_{2})) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.3.3.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{2} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{2} (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{2} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{2} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.3.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Перенесем $x$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x \cdot x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.3.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x \cdot x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.3.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{1 + 2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.3.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{3} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.3.7

Перенесем $2$ влево от $\cos (x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (36 \cos (x^{2}))$

Этап 4.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 \cos (x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 \cos (x^{2})$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 36 \frac{d}{d x} (\cos (x^{2}))$

Этап 4.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 36 (\frac{d}{d u (3)} (\cos (u_{3})) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 4.4.2.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 36 (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 4.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 36 (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 4.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 36 (- \sin (x^{2}) (2 x))$

Этап 4.4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 36 (- 2 \sin (x^{2}) x)$

Этап 4.4.5

Умножим $- 2$ на $36$ .

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) - 72 \sin (x^{2}) x$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2}))) - 48 (\cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) - 72 \sin (x^{2}) x$

Этап 4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{4} (x) = - 48 (x^{5} (- 2 \sin (x^{2}))) - 48 (\cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{3} (2 \cos (x^{2}))) - 144 (\sin (x^{2}) (2 x)) - 72 \sin (x^{2}) x$

Этап 4.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Умножим $- 2$ на $- 48$ .

$f^{4} (x) = 96 (x^{5} (\sin (x^{2}))) - 48 (\cos (x^{2}) (4 x^{3})) - 144 (x^{3} (2 \cos (x^{2}))) - 144 (\sin (x^{2}) (2 x)) - 72 \sin (x^{2}) x$

Этап 4.5.3.2

Умножим $4$ на $- 48$ .

$f^{4} (x) = 96 x^{5} \sin (x^{2}) - 192 (\cos (x^{2}) (x^{3})) - 144 (x^{3} (2 \cos (x^{2}))) - 144 (\sin (x^{2}) (2 x)) - 72 \sin (x^{2}) x$

Этап 4.5.3.3

Умножим $2$ на $- 144$ .

$f^{4} (x) = 96 x^{5} \sin (x^{2}) - 192 \cos (x^{2}) x^{3} - 288 (x^{3} (\cos (x^{2}))) - 144 (\sin (x^{2}) (2 x)) - 72 \sin (x^{2}) x$

Этап 4.5.3.4

Умножим $2$ на $- 144$ .

$f^{4} (x) = 96 x^{5} \sin (x^{2}) - 192 \cos (x^{2}) x^{3} - 288 x^{3} \cos (x^{2}) - 288 (\sin (x^{2}) (x)) - 72 \sin (x^{2}) x$

Этап 4.5.3.5

Вычтем $288 x^{3} \cos (x^{2})$ из $- 192 \cos (x^{2}) x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.5.1

Перенесем $\cos (x^{2})$ .

$f^{4} (x) = 96 x^{5} \sin (x^{2}) - 192 x^{3} \cos (x^{2}) - 288 x^{3} \cos (x^{2}) - 288 \sin (x^{2}) x - 72 \sin (x^{2}) x$

Этап 4.5.3.5.2

Вычтем $288 x^{3} \cos (x^{2})$ из $- 192 x^{3} \cos (x^{2})$ .

$f^{4} (x) = 96 x^{5} \sin (x^{2}) - 480 x^{3} \cos (x^{2}) - 288 \sin (x^{2}) x - 72 \sin (x^{2}) x$

Этап 4.5.3.6

Вычтем $72 \sin (x^{2}) x$ из $- 288 \sin (x^{2}) x$ .

$f^{4} (x) = 96 x^{5} \sin (x^{2}) - 480 x^{3} \cos (x^{2}) - 360 \sin (x^{2}) x$

Этап 4.5.4

Изменим порядок членов.

$f^{4} (x) = 96 x^{5} \sin (x^{2}) - 480 x^{3} \cos (x^{2}) - 360 x \sin (x^{2})$