Математический анализ Примеры

$y = \frac{4 x}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 1)}^{1}}$

Этап 1.4

Упростим.

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 1}$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 1}$

Этап 1.5.2

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 1}$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Этап 1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Этап 1.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Этап 1.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Этап 1.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Этап 1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Этап 1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Этап 1.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Этап 1.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Этап 1.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Этап 1.11.3

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Этап 1.11.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{x + 1}$

Этап 1.12

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{x + 1}$

Этап 1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{x + 1}$

Этап 1.14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x + 1}$

Этап 1.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Добавим $1$ и $0$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x + 1}$

Этап 1.15.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.16

Чтобы записать ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.17

Объединим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.19

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.19.1

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.19.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.19.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.19.5

Разделим $2$ на $2$ .

$4 \frac{\frac{{(x + 1)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.20

Упростим ${(x + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$4 \frac{\frac{(x + 1) \cdot 2 - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.21

Перенесем $2$ влево от $x + 1$ .

$4 \frac{\frac{2 \cdot (x + 1) - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.22

Перепишем $\frac{\frac{2 (x + 1) - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$ в виде произведения.

$4 (\frac{2 (x + 1) - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Этап 1.23

Умножим $\frac{2 (x + 1) - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$4 \frac{2 (x + 1) - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}$

Этап 1.24

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$4 \frac{2 (x + 1) - x}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.25

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \frac{2 (x + 1) - x}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 1.26

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.26.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$4 \frac{2 (x + 1) - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 1.26.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{2 (x + 1) - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 1.26.3

Добавим $2$ и $1$ .

$4 \frac{2 (x + 1) - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.27

Объединим $4$ и $\frac{2 (x + 1) - x}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4 (2 (x + 1) - x)}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.28

Вынесем множитель $2$ из $4 (2 (x + 1) - x)$ .

$\frac{2 (2 (2 (x + 1) - x))}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.29

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.29.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (2 (2 (x + 1) - x))}{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 1.29.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 (2 (x + 1) - x))}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.29.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (2 (x + 1) - x)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.30

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.30.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 x + 2 \cdot 1 - x)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.30.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 x) + 2 (2 \cdot 1) + 2 (- x)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.30.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.30.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.30.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x + 2 (2 \cdot 1) + 2 (- x)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.30.3.1.2

Умножим $2 (2 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.30.3.1.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.30.3.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x + 4 + 2 (- x)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.30.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 x + 4 - 2 x}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.30.3.2

Вычтем $2 x$ из $4 x$ .

$\frac{2 x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.30.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.30.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.30.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.30.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 2)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 (x + 2)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

Этап 2.2

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.3.5.2

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) (\frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) (\frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) (\frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) (\frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) (\frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.8.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) (\frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.9

Объединим $\frac{3}{2}$ и ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) (\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) (\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) (\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) (\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (1 + 0))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) (\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.13.2

Умножим $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.13.3

Объединим $2$ и $\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - (x + 2) \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 (- x - 1 \cdot 2) \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 (- x - 1 \cdot 2) \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x - 1 \cdot 2) \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + (- x - 2) \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - x \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} - 2 \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.4

Объединим $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} - 2 \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 2 (- 1) \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} - 1 (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} - 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.7

Чтобы записать $- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} - 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.8

Объединим $- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.10.1

Вынесем множитель $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из $- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.10.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.10.1.1.1

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.10.1.1.2

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.10.1.2

Вынесем множитель $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из $- 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x) - 3 \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.10.1.3

Вынесем множитель $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из $- 3 \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.10.1.4

Вынесем множитель $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 1 \cdot 2)}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.10.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 2)}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.11

Чтобы записать ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 2)}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.12

Объединим ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 2)}{2})}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 2)}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.14

Перепишем $\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 2)}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.14.1

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.14.1.1

Изменим порядок ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ и $2$ .

$\frac{2 \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 2)}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.14.1.2

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из $2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 2)}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.14.1.3

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 2)$ .

$\frac{2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 (- x - 2))}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.14.1.4

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 (- x - 2))$ .

$\frac{2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 3 (- x - 2))}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.14.2

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{1} + 3 (- x - 2))}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.14.3

Упростим.

$\frac{2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (x + 1) + 3 (- x - 2))}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.14.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 3 (- x - 2))}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.14.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 + 3 (- x - 2))}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.14.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 + 3 (- x) + 3 \cdot - 2)}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.14.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 - 3 x + 3 \cdot - 2)}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.14.8

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 - 3 x - 6)}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.14.9

Вычтем $3 x$ из $2 x$ .

$\frac{2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x + 2 - 6)}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.3.14.10

Вычтем $6$ из $2$ .

$\frac{2 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 4)}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.1

Объединим $2$ и $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 4)}{2}$ .

$\frac{\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 4))}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 4)}{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.4.3

Разделим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 4)$ на $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 4)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.14.4.4

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- x - 4}{{(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 2.14.4.5

Умножим ${(x + 1)}^{3}$ на ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.5.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x - 4}{{(x + 1)}^{3 - \frac{1}{2}}}$

Этап 2.14.4.5.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x - 4}{{(x + 1)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Этап 2.14.4.5.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x - 4}{{(x + 1)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Этап 2.14.4.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x - 4}{{(x + 1)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Этап 2.14.4.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.5.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{- x - 4}{{(x + 1)}^{\frac{6 - 1}{2}}}$

Этап 2.14.4.5.5.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$\frac{- x - 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 2.14.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) - 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 2.14.6

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x) - 1 (4)}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 2.14.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x + 4)}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 2.14.8

Перепишем $- (x + 4)$ в виде $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{- 1 (x + 4)}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 2.14.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}] + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.2

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}]}{{({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{2}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.5.2

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) (\frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) (\frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) (\frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) (\frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) (\frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.8.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) (\frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.9

Объединим $\frac{5}{2}$ и ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) (\frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.10

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) (\frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) (\frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) (\frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2} (1 + 0))}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) (\frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 1)}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.13.2

Умножим $\frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ на $1$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.14

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{5}} + \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Умножим $\frac{x + 4}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ на $0$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{5}} + 0$

Этап 3.15.2

Добавим $- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$ и $0$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - (x + 4) \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} + (- x - 1 \cdot 4) \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} + (- x - 4) \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - x \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.3

Объединим $\frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ и $x$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} - 4 \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} + 2 (- 2) \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} + 2 \cdot - 2 \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} - 2 (5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.5

Умножим $5$ на $- 2$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.6

Чтобы записать $- 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.7

Объединим $- 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} + \frac{- 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.2.9.1

Вынесем множитель $5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ из $- 5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.2.9.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.2.9.1.1.1

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.9.1.1.2

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 10 \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.9.1.2

Вынесем множитель $5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ из $- 5 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x) - 10 \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.9.1.3

Вынесем множитель $5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ из $- 10 \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x) + 5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- 2 \cdot 2)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.9.1.4

Вынесем множитель $5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ из $5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x) + 5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- 2 \cdot 2)$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 2 \cdot 2)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.9.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 4)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.10

Чтобы записать ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 4)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.11

Объединим ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 4)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2 + 5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 4)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13

Перепишем $\frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2 + 5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 4)}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.2.13.1

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ из ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2 + 5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.2.13.1.1

Изменим порядок ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ и $2$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} + 5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 4)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.1.2

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ из $2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 4)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.1.3

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ из $5 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 4)$ .

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (5 (- x - 4))}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.1.4

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ из ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (5 (- x - 4))$ .

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 5 (- x - 4))}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.2

Разделим $2$ на $2$ .

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{1} + 5 (- x - 4))}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.3

Упростим.

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot (x + 1) + 5 (- x - 4))}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 5 (- x - 4))}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x + 2 + 5 (- x - 4))}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x + 2 + 5 (- x) + 5 \cdot - 4)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.7

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x + 2 - 5 x + 5 \cdot - 4)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.8

Умножим $5$ на $- 4$ .

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x + 2 - 5 x - 20)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.9

Вычтем $5 x$ из $2 x$ .

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- 3 x + 2 - 20)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.10

Вычтем $20$ из $2$ .

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- 3 x - 18)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.11

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.2.13.11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 (- x) - 18)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.11.2

Вынесем множитель $3$ из $- 18$ .

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 (- x) + 3 (- 6))}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.13.11.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x) + 3 (- 6)$ .

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 (- x - 6))}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

$- \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3 (- x - 6)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.2.14

Перенесем $3$ влево от ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 6)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.3.1

Перепишем $\frac{\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 6)}{2}}{{(x + 1)}^{5}}$ в виде произведения.

$- (\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 6)}{2} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{5}})$

Этап 3.16.3.2

Умножим $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 6)}{2}$ на $\frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$ .

$- \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (- x - 6)}{2 {(x + 1)}^{5}}$

Этап 3.16.3.3

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{3 (- x - 6)}{2 {(x + 1)}^{5} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}}$

Этап 3.16.3.4

Умножим ${(x + 1)}^{5}$ на ${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.3.4.1

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ .

$- \frac{3 (- x - 6)}{2 ({(x + 1)}^{- \frac{3}{2}} {(x + 1)}^{5})}$

Этап 3.16.3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{3 (- x - 6)}{2 {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} + 5}}$

Этап 3.16.3.4.3

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 (- x - 6)}{2 {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 3.16.3.4.4

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 (- x - 6)}{2 {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}}$

Этап 3.16.3.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3 (- x - 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{- 3 + 5 \cdot 2}{2}}}$

Этап 3.16.3.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.3.4.6.1

Умножим $5$ на $2$ .

$- \frac{3 (- x - 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{- 3 + 10}{2}}}$

Этап 3.16.3.4.6.2

Добавим $- 3$ и $10$ .

$- \frac{3 (- x - 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 3.16.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- \frac{3 (- (x) - 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 3.16.5

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$- \frac{3 (- (x) - 1 (6))}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 3.16.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (6)$ .

$- \frac{3 (- (x + 6))}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 3.16.7

Перепишем $- (x + 6)$ в виде $- 1 (x + 6)$ .

$- \frac{3 (- 1 (x + 6))}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 3.16.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 3.16.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 3.16.10

Умножим $\frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ на $1$ .

$f''' (x) = \frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}]$

Этап 4.2

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}]}{{({(x + 1)}^{\frac{7}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{7}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}]}{{(x + 1)}^{\frac{7}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}]}{{(x + 1)}^{\frac{7}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}]}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}]}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}]}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.3.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}]}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}]}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.3.5.2

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{7}{2}}$ на $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}]}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) (\frac{7}{2} u^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) (\frac{7}{2} {(x + 1)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) (\frac{7}{2} {(x + 1)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) (\frac{7}{2} {(x + 1)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) (\frac{7}{2} {(x + 1)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) (\frac{7}{2} {(x + 1)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.8.2

Вычтем $2$ из $7$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) (\frac{7}{2} {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.9

Объединим $\frac{7}{2}$ и ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) (\frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.10

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) (\frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) (\frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) (\frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2} (1 + 0))}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) (\frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot 1)}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.13.2

Умножим $\frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.13.3

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2}}{{(x + 1)}^{7}}$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - (x + 6) \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 6) \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 6) \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 6) \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2})$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + (- x - 6) \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - x \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2} - 6 \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.4

Объединим $\frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ и $x$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} x}{2} - 6 \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} x}{2} + 2 (- 3) \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} x}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} x}{2} - 3 (7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}))}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.6

Умножим $7$ на $- 3$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} x}{2} - 21 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.7

Чтобы записать $- 21 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} x}{2} - 21 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.8

Объединим $- 21 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} x}{2} + \frac{- 21 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{- 7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} x - 21 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.10.1

Вынесем множитель $7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ из $- 7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} x - 21 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.10.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.10.1.1.1

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{- 7 x {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - 21 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.10.1.1.2

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{- 7 x {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - 21 \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.10.1.2

Вынесем множитель $7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ из $- 7 x {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x) - 21 \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.10.1.3

Вынесем множитель $7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ из $- 21 \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x) + 7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 \cdot 2)}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.10.1.4

Вынесем множитель $7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ из $7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x) + 7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 \cdot 2)$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 3 \cdot 2)}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.10.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 6)}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.11

Чтобы записать ${(x + 1)}^{\frac{7}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 6)}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.12

Объединим ${(x + 1)}^{\frac{7}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 6)}{2})}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} \cdot 2 + 7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 6)}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14

Перепишем $\frac{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}} \cdot 2 + 7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 6)}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.14.1

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ из ${(x + 1)}^{\frac{7}{2}} \cdot 2 + 7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.14.1.1

Изменим порядок ${(x + 1)}^{\frac{7}{2}}$ и $2$ .

$\frac{3 \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + 7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 6)}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.1.2

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ из $2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 6)}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.1.3

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ из $7 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 6)$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (7 (- x - 6))}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.1.4

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ из ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (7 (- x - 6))$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 7 (- x - 6))}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.2

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (2 \cdot {(x + 1)}^{1} + 7 (- x - 6))}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.3

Упростим.

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (2 \cdot (x + 1) + 7 (- x - 6))}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 7 (- x - 6))}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (2 x + 2 + 7 (- x - 6))}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (2 x + 2 + 7 (- x) + 7 \cdot - 6)}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.7

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (2 x + 2 - 7 x + 7 \cdot - 6)}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.8

Умножим $7$ на $- 6$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (2 x + 2 - 7 x - 42)}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.9

Вычтем $7 x$ из $2 x$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 5 x + 2 - 42)}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.10

Вычтем $42$ из $2$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 5 x - 40)}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.11

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x - 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.14.11.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (5 (- x) - 40)}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.11.2

Вынесем множитель $5$ из $- 40$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (5 (- x) + 5 (- 8))}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.14.11.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (- x) + 5 (- 8)$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (5 (- x - 8))}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

$\frac{3 \frac{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 5 (- x - 8)}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.3.15

Перенесем $5$ влево от ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3 \frac{5 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 8)}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.4.1

Объединим $3$ и $\frac{5 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 8)}{2}$ .

$\frac{\frac{3 (5 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 8))}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.4.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{\frac{15 ({(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 8))}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.4.3

Перепишем $\frac{\frac{15 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 8)}{2}}{2 {(x + 1)}^{7}}$ в виде произведения.

$\frac{15 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 8)}{2} \cdot \frac{1}{2 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.4.4

Умножим $\frac{15 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 8)}{2}$ на $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{7}}$ .

$\frac{15 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 8)}{2 (2 {(x + 1)}^{7})}$

Этап 4.14.4.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{15 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} (- x - 8)}{4 {(x + 1)}^{7}}$

Этап 4.14.4.6

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{15 (- x - 8)}{4 {(x + 1)}^{7} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}}$

Этап 4.14.4.7

Умножим ${(x + 1)}^{7}$ на ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.4.7.1

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{15 (- x - 8)}{4 ({(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} {(x + 1)}^{7})}$

Этап 4.14.4.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 (- x - 8)}{4 {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} + 7}}$

Этап 4.14.4.7.3

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 (- x - 8)}{4 {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 4.14.4.7.4

Объединим $7$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 (- x - 8)}{4 {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}}}$

Этап 4.14.4.7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{15 (- x - 8)}{4 {(x + 1)}^{\frac{- 5 + 7 \cdot 2}{2}}}$

Этап 4.14.4.7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.4.7.6.1

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{15 (- x - 8)}{4 {(x + 1)}^{\frac{- 5 + 14}{2}}}$

Этап 4.14.4.7.6.2

Добавим $- 5$ и $14$ .

$\frac{15 (- x - 8)}{4 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}}$

Этап 4.14.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{15 (- (x) - 8)}{4 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}}$

Этап 4.14.6

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$\frac{15 (- (x) - 1 (8))}{4 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}}$

Этап 4.14.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (8)$ .

$\frac{15 (- (x + 8))}{4 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}}$

Этап 4.14.8

Перепишем $- (x + 8)$ в виде $- 1 (x + 8)$ .

$\frac{15 (- 1 (x + 8))}{4 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}}$

Этап 4.14.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - \frac{15 (x + 8)}{4 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}}$