Математический анализ Примеры

$x (\cos (2 x))$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (2 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cdot 1$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)$

Этап 1.3.6.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x \sin (2 x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.2.2

$- 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.2.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$- 2 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.2.8

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$- 2 (x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.2.9

Умножим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.1.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) \cdot 2$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (x (2 \cos (2 x))) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x)$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 (x (\cos (2 x))) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x)$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $2 \sin (2 x)$ из $- 2 \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = - 4 x \cos (2 x) - 4 \sin (2 x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 4 x \cos (2 x) - 4 \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x \cos (2 x)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x \cos (2 x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.2.2

$- 4 (x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$- 4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.2.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- 4 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) \cdot 2) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.2.9

Умножим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \sin (2 x)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 3.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Этап 3.3.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (2 \cdot \cos (2 x))$

Этап 3.3.7

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 8 \cos (2 x)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x))) - 4 \cos (2 x) - 8 \cos (2 x)$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$8 (x (\sin (2 x))) - 4 \cos (2 x) - 8 \cos (2 x)$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $8 \cos (2 x)$ из $- 4 \cos (2 x)$ .

$f''' (x) = 8 x \sin (2 x) - 12 \cos (2 x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $8 x \sin (2 x) - 12 \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x \sin (2 x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Этап 4.2.2

$8 (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Этап 4.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$8 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Этап 4.2.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$8 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Этап 4.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$8 (x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Этап 4.2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Этап 4.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Этап 4.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Этап 4.2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$8 (x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Этап 4.2.8

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$8 (x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Этап 4.2.9

Умножим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 \cos (2 x)$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 4.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.3.2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 4.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Этап 4.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- 2 \sin (2 x))$

Этап 4.3.7

Умножим $- 2$ на $- 12$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + 24 \sin (2 x)$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (x (2 \cos (2 x))) + 8 \sin (2 x) + 24 \sin (2 x)$

Этап 4.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $2$ на $8$ .

$16 (x (\cos (2 x))) + 8 \sin (2 x) + 24 \sin (2 x)$

Этап 4.4.2.2

Добавим $8 \sin (2 x)$ и $24 \sin (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 16 x \cos (2 x) + 32 \sin (2 x)$