Математический анализ Примеры

$y = x \sqrt{x + 9}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 9}$ в виде ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 9$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9]) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9]) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 9$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9]) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 9]) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8.3

Перенесем ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9] + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.9

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [9]) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.11

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.12.2

Умножим $\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.14

Умножим ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.15

Чтобы записать ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16

Объединим ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18

Умножим ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.1

Перенесем ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x + {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{x + {(x + 9)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.19

Упростим ${(x + 9)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 9) \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.20

Перенесем $2$ влево от $x + 9$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 9)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 9}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.21.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.21.2.1

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{x + 2 x + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.21.2.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{3 x + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.21.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.21.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.21.3.2

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.21.3.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot 6$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 6$ и $g (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 9)}^{1}}$

Этап 2.4

Упростим.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 9}$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 9}$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 9}$

Этап 2.5.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 9}$

Этап 2.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 9}$

Этап 2.5.4.2

Умножим ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 9}$

Этап 2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + 9$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9])}{x + 9}$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])}{x + 9}$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 9$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])}{x + 9}$

Этап 2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{x + 9}$

Этап 2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{x + 9}$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{x + 9}$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{x + 9}$

Этап 2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{x + 9}$

Этап 2.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{x + 9}$

Этап 2.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 9])}{x + 9}$

Этап 2.11.3

Перенесем ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{x + 9}$

Этап 2.12

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))}{x + 9}$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [9]))}{x + 9}$

Этап 2.14

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0))}{x + 9}$

Этап 2.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 9}$

Этап 2.15.2

Умножим $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 9}$

Этап 2.15.3

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 9}$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 9)}$

Этап 2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 9)}$

Этап 2.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 9)}$

Этап 2.16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.2

Пусть $u_{2} = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u_{2}$ вместо ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 \frac{2 u_{2} \cdot u_{2} - x - 6}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.4.2.2.1

Перенесем $u_{2}$ .

$\frac{3 \frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) - x - 6}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.2.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ .

$\frac{3 \frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 6}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \frac{2 {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.4.4.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.4.4.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.4.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \frac{2 {(x + 9)}^{1} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.4.1.2

Упростим.

$\frac{3 \frac{2 (x + 9) - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \frac{2 x + 2 \cdot 9 - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.4.1.4

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{3 \frac{2 x + 18 - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.4.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$\frac{3 \frac{x + 18 - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.4.4.3

Вычтем $6$ из $18$ .

$\frac{3 \frac{x + 12}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.5.1

Объединим $3$ и $\frac{x + 12}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Этап 2.16.5.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 18}$

Этап 2.16.5.3

Перепишем $\frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 18}$ в виде произведения.

$\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 18}$

Этап 2.16.5.4

Умножим $\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{2 x + 18}$ .

$\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 18)}$

Этап 2.16.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 18)}$

Этап 2.16.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 9)}$

Этап 2.16.6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 9$ .

$\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 9))}$

$\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x + 9)}$

Этап 2.16.6.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.6.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (x + 9)}$

Этап 2.16.6.2.2

Возведем $x + 9$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x + 12)}{4 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.16.6.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.16.6.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.16.6.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 2.16.6.2.6

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{3}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x + 12}{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x + 12}{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}]$

Этап 3.2

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] - (x + 12) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}]}{{({(x + 9)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 9)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] - (x + 12) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 9)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] - (x + 12) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 9)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] - (x + 12) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x + 12) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [12]) - (x + 12) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (1 + 0) - (x + 12) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - (x + 12) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.3.5.2

Умножим ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 9$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 9$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) (\frac{3}{2} {(x + 9)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) (\frac{3}{2} {(x + 9)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) (\frac{3}{2} {(x + 9)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) (\frac{3}{2} {(x + 9)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) (\frac{3}{2} {(x + 9)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.8.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) (\frac{3}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.9

Объединим $\frac{3}{2}$ и ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) (\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.10

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) (\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) (\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2} (1 + \frac{d}{d x} [9]))}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.12

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) (\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2} (1 + 0))}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) (\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.13.2

Умножим $\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.13.3

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x + 9)}^{3}}$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - (x + 12) \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} + (- x - 1 \cdot 12) \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 12) \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 12) \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 12) \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x - 1 \cdot 12) \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 12) \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 12) \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} + (- x - 1 \cdot 12) \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} + (- x - 12) \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - x \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2} - 12 \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.4

Объединим $\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} - 12 \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 2 (- 6) \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 2 \cdot - 6 \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} - 6 (3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}))}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.6

Умножим $3$ на $- 6$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} - 18 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.7

Чтобы записать $- 18 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} - 18 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.8

Объединим $- 18 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + \frac{- 18 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} x - 18 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.10.1

Вынесем множитель $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ из $- 3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} x - 18 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.10.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.10.1.1.1

Перенесем ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 x {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - 18 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.10.1.1.2

Перенесем ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 x {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - 18 \cdot 2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.10.1.2

Вынесем множитель $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ из $- 3 x {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x) - 18 \cdot 2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.10.1.3

Вынесем множитель $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ из $- 18 \cdot 2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 6 \cdot 2)}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.10.1.4

Вынесем множитель $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ из $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- 6 \cdot 2)$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 6 \cdot 2)}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.10.2

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 12)}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.11

Чтобы записать ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 12)}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.12

Объединим ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 12)}{2})}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 12)}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.14

Перепишем $\frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 12)}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.14.1

Вынесем множитель ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 12)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.14.1.1

Изменим порядок ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ и $2$ .

$\frac{3 \frac{2 \cdot {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} + 3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 12)}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.14.1.2

Вынесем множитель ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ из $2 \cdot {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}) + 3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 12)}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.14.1.3

Вынесем множитель ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ из $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 12)$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (3 (- x - 12))}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.14.1.4

Вынесем множитель ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (3 (- x - 12))$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} + 3 (- x - 12))}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.14.2

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x + 9)}^{1} + 3 (- x - 12))}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.14.3

Упростим.

$\frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (x + 9) + 3 (- x - 12))}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.14.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 9 + 3 (- x - 12))}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.14.5

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 18 + 3 (- x - 12))}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.14.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 18 + 3 (- x) + 3 \cdot - 12)}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.14.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 18 - 3 x + 3 \cdot - 12)}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.14.8

Умножим $3$ на $- 12$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 18 - 3 x - 36)}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.14.9

Вычтем $3 x$ из $2 x$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x + 18 - 36)}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.3.14.10

Вычтем $36$ из $18$ .

$\frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 18)}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.4.1

Объединим $3$ и $\frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 18)}{2}$ .

$\frac{\frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 18))}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.4.2

Перепишем $\frac{\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 18)}{2}}{4 {(x + 9)}^{3}}$ в виде произведения.

$\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 18)}{2} \cdot \frac{1}{4 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.4.3

Умножим $\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 18)}{2}$ на $\frac{1}{4 {(x + 9)}^{3}}$ .

$\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 18)}{2 (4 {(x + 9)}^{3})}$

Этап 3.14.4.4

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (- x - 18)}{8 {(x + 9)}^{3}}$

Этап 3.14.4.5

Перенесем ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3 (- x - 18)}{8 {(x + 9)}^{3} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 3.14.4.6

Умножим ${(x + 9)}^{3}$ на ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.4.6.1

Перенесем ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (- x - 18)}{8 ({(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 9)}^{3})}$

Этап 3.14.4.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (- x - 18)}{8 {(x + 9)}^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Этап 3.14.4.6.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (- x - 18)}{8 {(x + 9)}^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 3.14.4.6.4

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (- x - 18)}{8 {(x + 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Этап 3.14.4.6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (- x - 18)}{8 {(x + 9)}^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Этап 3.14.4.6.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.4.6.6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3 (- x - 18)}{8 {(x + 9)}^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Этап 3.14.4.6.6.2

Добавим $- 1$ и $6$ .

$\frac{3 (- x - 18)}{8 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.14.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 18)}{8 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.14.6

Перепишем $- 18$ в виде $- 1 (18)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (18))}{8 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.14.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (18)$ .

$\frac{3 (- (x + 18))}{8 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.14.8

Перепишем $- (x + 18)$ в виде $- 1 (x + 18)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 18))}{8 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.14.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{3 (x + 18)}{8 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- \frac{3}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3 (x + 18)}{8 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ по $x$ равна $- \frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x + 18}{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$- \frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x + 18}{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}}}]$

Этап 4.2

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 18] - (x + 18) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{5}{2}}]}{{({(x + 9)}^{\frac{5}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 9)}^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 18] - (x + 18) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 9)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 18] - (x + 18) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 9)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 18] - (x + 18) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $x + 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18]) - (x + 18) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [18]) - (x + 18) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.3.4

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} (1 + 0) - (x + 18) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - (x + 18) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.3.5.2

Умножим ${(x + 9)}^{\frac{5}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{5}{2}}]}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 9$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 9$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) (\frac{5}{2} {(x + 9)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) (\frac{5}{2} {(x + 9)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) (\frac{5}{2} {(x + 9)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) (\frac{5}{2} {(x + 9)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) (\frac{5}{2} {(x + 9)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.8.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) (\frac{5}{2} {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.9

Объединим $\frac{5}{2}$ и ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) (\frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 9])}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.10

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) (\frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) (\frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2} (1 + \frac{d}{d x} [9]))}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.12

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) (\frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2} (1 + 0))}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) (\frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 1)}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.13.2

Умножим $\frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ на $1$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.13.3

Умножим $\frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{{(x + 9)}^{5}}$ на $\frac{3}{8}$ .

$- \frac{({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2}) \cdot 3}{{(x + 9)}^{5} \cdot 8}$

Этап 4.13.4

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.4.1

Перенесем $3$ влево от ${(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{3 \cdot ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})}{{(x + 9)}^{5} \cdot 8}$

Этап 4.13.4.2

Перенесем $8$ влево от ${(x + 9)}^{5}$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - (x + 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})}{8 \cdot {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} + (- x - 1 \cdot 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x - 1 \cdot 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} + (- x - 1 \cdot 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.2

Умножим $- 1$ на $18$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} + (- x - 18) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - x \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2} - 18 \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.4

Объединим $\frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ и $x$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} - 18 \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} + 2 (- 9) \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.5.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} + 2 \cdot - 9 \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.5.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} - 9 (5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}))}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.6

Умножим $5$ на $- 9$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} - 45 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.7

Чтобы записать $- 45 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} - 45 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.8

Объединим $- 45 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} + \frac{- 45 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} x - 45 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.10.1

Вынесем множитель $5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ из $- 5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} x - 45 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.10.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.10.1.1.1

Перенесем ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 x {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - 45 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.10.1.1.2

Перенесем ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 x {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} - 45 \cdot 2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.10.1.2

Вынесем множитель $5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ из $- 5 x {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x) - 45 \cdot 2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.10.1.3

Вынесем множитель $5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ из $- 45 \cdot 2 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x) + 5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- 9 \cdot 2)}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.10.1.4

Вынесем множитель $5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ из $5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x) + 5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- 9 \cdot 2)$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 9 \cdot 2)}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.10.2

Умножим $- 9$ на $2$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 18)}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.11

Чтобы записать ${(x + 9)}^{\frac{5}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 18)}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.12

Объединим ${(x + 9)}^{\frac{5}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 (\frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 18)}{2})}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2 + 5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 18)}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14

Перепишем $\frac{{(x + 9)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2 + 5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 18)}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.14.1

Вынесем множитель ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ из ${(x + 9)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2 + 5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 18)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.14.1.1

Изменим порядок ${(x + 9)}^{\frac{5}{2}}$ и $2$ .

$- \frac{3 \frac{2 \cdot {(x + 9)}^{\frac{5}{2}} + 5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 18)}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.1.2

Вынесем множитель ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ из $2 \cdot {(x + 9)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}) + 5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 18)}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.1.3

Вынесем множитель ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ из $5 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 18)$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (5 (- x - 18))}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.1.4

Вынесем множитель ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ из ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (5 (- x - 18))$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} + 5 (- x - 18))}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.2

Разделим $2$ на $2$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot {(x + 9)}^{1} + 5 (- x - 18))}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.3

Упростим.

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot (x + 9) + 5 (- x - 18))}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (2 x + 2 \cdot 9 + 5 (- x - 18))}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.5

Умножим $2$ на $9$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (2 x + 18 + 5 (- x - 18))}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (2 x + 18 + 5 (- x) + 5 \cdot - 18)}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.7

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (2 x + 18 - 5 x + 5 \cdot - 18)}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.8

Умножим $5$ на $- 18$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (2 x + 18 - 5 x - 90)}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.9

Вычтем $5 x$ из $2 x$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- 3 x + 18 - 90)}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.10

Вычтем $90$ из $18$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- 3 x - 72)}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.11

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x - 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.14.11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (3 (- x) - 72)}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.11.2

Вынесем множитель $3$ из $- 72$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (3 (- x) + 3 (- 24))}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.14.11.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x) + 3 (- 24)$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (3 (- x - 24))}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

$- \frac{3 \frac{{(x + 9)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3 (- x - 24)}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.3.15

Перенесем $3$ влево от ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{3 \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 24)}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.4.1

Объединим $3$ и $\frac{3 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 24)}{2}$ .

$- \frac{\frac{3 (3 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 24))}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{\frac{9 ({(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 24))}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.4.3

Перепишем $\frac{\frac{9 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 24)}{2}}{8 {(x + 9)}^{5}}$ в виде произведения.

$- (\frac{9 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 24)}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + 9)}^{5}})$

Этап 4.14.4.4

Умножим $\frac{9 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 24)}{2}$ на $\frac{1}{8 {(x + 9)}^{5}}$ .

$- \frac{9 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 24)}{2 (8 {(x + 9)}^{5})}$

Этап 4.14.4.5

Умножим $8$ на $2$ .

$- \frac{9 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}} (- x - 24)}{16 {(x + 9)}^{5}}$

Этап 4.14.4.6

Перенесем ${(x + 9)}^{\frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{9 (- x - 24)}{16 {(x + 9)}^{5} {(x + 9)}^{- \frac{3}{2}}}$

Этап 4.14.4.7

Умножим ${(x + 9)}^{5}$ на ${(x + 9)}^{- \frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.4.7.1

Перенесем ${(x + 9)}^{- \frac{3}{2}}$ .

$- \frac{9 (- x - 24)}{16 ({(x + 9)}^{- \frac{3}{2}} {(x + 9)}^{5})}$

Этап 4.14.4.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{9 (- x - 24)}{16 {(x + 9)}^{- \frac{3}{2} + 5}}$

Этап 4.14.4.7.3

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9 (- x - 24)}{16 {(x + 9)}^{- \frac{3}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 4.14.4.7.4

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9 (- x - 24)}{16 {(x + 9)}^{- \frac{3}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}}$

Этап 4.14.4.7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{9 (- x - 24)}{16 {(x + 9)}^{\frac{- 3 + 5 \cdot 2}{2}}}$

Этап 4.14.4.7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.4.7.6.1

Умножим $5$ на $2$ .

$- \frac{9 (- x - 24)}{16 {(x + 9)}^{\frac{- 3 + 10}{2}}}$

Этап 4.14.4.7.6.2

Добавим $- 3$ и $10$ .

$- \frac{9 (- x - 24)}{16 {(x + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.14.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- \frac{9 (- (x) - 24)}{16 {(x + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.14.6

Перепишем $- 24$ в виде $- 1 (24)$ .

$- \frac{9 (- (x) - 1 (24))}{16 {(x + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.14.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (24)$ .

$- \frac{9 (- (x + 24))}{16 {(x + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.14.8

Перепишем $- (x + 24)$ в виде $- 1 (x + 24)$ .

$- \frac{9 (- 1 (x + 24))}{16 {(x + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.14.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{9 (x + 24)}{16 {(x + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.14.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{9 (x + 24)}{16 {(x + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.14.11

Умножим $\frac{9 (x + 24)}{16 {(x + 9)}^{\frac{7}{2}}}$ на $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{9 (x + 24)}{16 {(x + 9)}^{\frac{7}{2}}}$