Математический анализ Примеры

$5 x {(x + 4)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x {(x + 4)}^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x {(x + 4)}^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(x + 4)}^{3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x + 4)}^{3}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}] + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [4])) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} \cdot 1) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3} \cdot 1)$

Этап 1.4.6

Умножим ${(x + 4)}^{3}$ на $1$ .

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2})) + 5 {(x + 4)}^{3}$

Этап 1.5.2

Умножим $3$ на $5$ .

$15 (x ({(x + 4)}^{2})) + 5 {(x + 4)}^{3}$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $5 {(x + 4)}^{2}$ из $15 x {(x + 4)}^{2} + 5 {(x + 4)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $5 {(x + 4)}^{2}$ из $15 x {(x + 4)}^{2}$ .

$5 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 5 {(x + 4)}^{3}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $5 {(x + 4)}^{2}$ из $5 {(x + 4)}^{3}$ .

$5 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 5 {(x + 4)}^{2} (x + 4)$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $5 {(x + 4)}^{2}$ из $5 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 5 {(x + 4)}^{2} (x + 4)$ .

$5 {(x + 4)}^{2} (3 x + x + 4)$

Этап 1.5.4

Добавим $3 x$ и $x$ .

$5 {(x + 4)}^{2} (4 x + 4)$

Этап 1.5.5

Перепишем ${(x + 4)}^{2}$ в виде $(x + 4) (x + 4)$ .

$5 ((x + 4) (x + 4)) (4 x + 4)$

Этап 1.5.6

Развернем $(x + 4) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) (4 x + 4)$

Этап 1.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) (4 x + 4)$

Этап 1.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

Этап 1.5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$5 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

Этап 1.5.7.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$5 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

Этап 1.5.7.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$5 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) (4 x + 4)$

Этап 1.5.7.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$5 (x^{2} + 8 x + 16) (4 x + 4)$

Этап 1.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(5 x^{2} + 5 (8 x) + 5 \cdot 16) (4 x + 4)$

Этап 1.5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.9.1

Умножим $8$ на $5$ .

$(5 x^{2} + 40 x + 5 \cdot 16) (4 x + 4)$

Этап 1.5.9.2

Умножим $5$ на $16$ .

$(5 x^{2} + 40 x + 80) (4 x + 4)$

Этап 1.5.10

Развернем $(5 x^{2} + 40 x + 80) (4 x + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$5 x^{2} (4 x) + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 \cdot 4 x^{2} x + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.11.2.1

Перенесем $x$ .

$5 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.11.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \cdot 4 x^{1 + 2} + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$5 \cdot 4 x^{3} + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11.3

Умножим $5$ на $4$ .

$20 x^{3} + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11.4

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 40 \cdot 4 x \cdot x + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.11.6.1

Перенесем $x$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 40 \cdot 4 (x \cdot x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 40 \cdot 4 x^{2} + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11.7

Умножим $40$ на $4$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 160 x^{2} + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11.8

Умножим $4$ на $40$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 160 x^{2} + 160 x + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11.9

Умножим $4$ на $80$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 160 x^{2} + 160 x + 320 x + 80 \cdot 4$

Этап 1.5.11.10

Умножим $80$ на $4$ .

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 160 x^{2} + 160 x + 320 x + 320$

Этап 1.5.12

Добавим $20 x^{2}$ и $160 x^{2}$ .

$20 x^{3} + 180 x^{2} + 160 x + 320 x + 320$

Этап 1.5.13

Добавим $160 x$ и $320 x$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 180 x^{2} + 480 x + 320$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $20 x^{3} + 180 x^{2} + 480 x + 320$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [180 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $180$ является константой относительно $x$ , производная $180 x^{2}$ по $x$ равна $180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} + 180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$60 x^{2} + 180 (2 x) + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $180$ .

$60 x^{2} + 360 x + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [480 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $480$ является константой относительно $x$ , производная $480 x$ по $x$ равна $480 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} + 360 x + 480 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [320]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$60 x^{2} + 360 x + 480 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [320]$

Этап 2.4.3

Умножим $480$ на $1$ .

$60 x^{2} + 360 x + 480 + \frac{d}{d x} [320]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $320$ является константой относительно $x$ , производная $320$ относительно $x$ равна $0$ .

$60 x^{2} + 360 x + 480 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $60 x^{2} + 360 x + 480$ и $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 360 x + 480$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $60 x^{2} + 360 x + 480$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $60$ является константой относительно $x$ , производная $60 x^{2}$ по $x$ равна $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [360 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $360$ является константой относительно $x$ , производная $360 x$ по $x$ равна $360 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x + 360 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [480]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$120 x + 360 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [480]$

Этап 3.3.3

Умножим $360$ на $1$ .

$120 x + 360 + \frac{d}{d x} [480]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $480$ является константой относительно $x$ , производная $480$ относительно $x$ равна $0$ .

$120 x + 360 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $120 x + 360$ и $0$ .

$f''' (x) = 120 x + 360$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $120 x + 360$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [360]$ .

$\frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [360]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $120$ является константой относительно $x$ , производная $120 x$ по $x$ равна $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [360]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [360]$

Этап 4.2.3

Умножим $120$ на $1$ .

$120 + \frac{d}{d x} [360]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $360$ является константой относительно $x$ , производная $360$ относительно $x$ равна $0$ .

$120 + 0$

Этап 4.3.2

Добавим $120$ и $0$ .

$f^{4} (x) = 120$