Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{t^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{t})}^{3} d t$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{t^{2}}$ и ${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

Этап 2

Пусть $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ , следовательно $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{t}$ в виде $t^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

Этап 2.1.4.2

Вычтем $\frac{1}{t^{2}}$ из $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 1 + \frac{1}{t}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{lower} = 1 + 1 \cdot 2$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$u_{lower} = 3$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 1 + \frac{1}{t}$ .

$u_{upper} = 1 + \frac{1}{1}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим $1$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 2$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{3}^{2} - u^{3} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{3}^{2} u^{3} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{3}^{2})$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{3}^{2})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{u^{4}}{4}$ в $2$ и в $3$ .

$- ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{3^{4}}{4})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$- (\frac{16}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Этап 6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{3^{4}}{4})$

Этап 6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{3^{4}}{4})$

Этап 6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{4}{1} - \frac{3^{4}}{4})$

Этап 6.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$- (4 - \frac{3^{4}}{4})$

Этап 6.2.3

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- (4 - \frac{81}{4})$

Этап 6.2.4

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})$

Этап 6.2.5

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})$

Этап 6.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{4 \cdot 4 - 81}{4}$

Этап 6.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{16 - 81}{4}$

Этап 6.2.7.2

Вычтем $81$ из $16$ .

$- \frac{- 65}{4}$

Этап 6.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{65}{4}$

Этап 6.2.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{65}{4})$

Этап 6.2.10

Умножим $\frac{65}{4}$ на $1$ .

$\frac{65}{4}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{65}{4}$

Десятичная форма:

$16.25$

Форма смешанных чисел:

$16 \frac{1}{4}$

Этап 8