Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{2 x \sqrt{x}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})} d x$

Этап 1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}} d x$

Этап 1.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} d x$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}} d x$

Этап 1.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $x^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Этап 3.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Этап 3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 5.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 5.2.5

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$