Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{3} \cdot \sin (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{3} \cdot \sin (2 x) d x + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \sin (2 x) d x + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Этап 4

Объединим $\sin (u_{1})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{6} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Этап 7

Интеграл $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x) d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos (3 x) d x$

Этап 9

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Тогда $d u_{2} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 9.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 10

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{3 \cdot 2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 12.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 13

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

Этап 14

Упростим.

$- \frac{\cos (u_{1})}{6} + \frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{6} + \frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{6} + \frac{1}{6} \sin (3 x) + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{6} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \sin (3 x) + C$