Математический анализ Примеры

$\int_{- \frac{1}{4}}^{0} e^{5 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 5 x$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 (- \frac{1}{4})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $5 (- \frac{1}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$u_{lower} = - 5 (\frac{1}{4})$

Этап 1.3.1.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{- 5}{4}$

Этап 1.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u_{lower} = - \frac{5}{4}$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 0$

Этап 1.5

Умножим $5$ на $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - \frac{5}{4}$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- \frac{5}{4}}^{0} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Этап 2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int_{- \frac{5}{4}}^{0} \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int_{- \frac{5}{4}}^{0} e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{5} e^{u}]_{- \frac{5}{4}}^{0}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $e^{u}$ в $0$ и в $- \frac{5}{4}$ .

$\frac{1}{5} ((e^{0}) - e^{- \frac{5}{4}})$

Этап 5.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{5} (1 - e^{- \frac{5}{4}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{5} (- e^{- \frac{5}{4}})$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{5} (- e^{- \frac{5}{4}})$

Этап 6.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $e^{- \frac{5}{4}}$ .

$\frac{1}{5} - \frac{e^{- \frac{5}{4}}}{5}$

Этап 6.4

Перенесем $e^{- \frac{5}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5} - \frac{1}{5 e^{\frac{5}{4}}}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{5} - \frac{1}{5 e^{\frac{5}{4}}}$

Десятичная форма:

$0.14269904 \dots$

Этап 8