Математический анализ Примеры

$\int \frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Этап 1

Разобьем дробь $\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)}$ на две дроби.

$\int \frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Этап 2.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Этап 2.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $\tan^{2} (x)$ и $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan^{2} (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x)} d x$

Этап 2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим на $1$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Этап 2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x)}{1} d x$

Этап 2.4.2.4

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\int \cot (x) + \tan (x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \cot (x) d x + \int \tan (x) d x$

Этап 4

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \int \tan (x) d x$

Этап 5

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \ln (| \sec (x) |) + C$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

$\ln (| \sin (x) |) + \ln (| \sec (x) |) + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \sin (x) | | \sec (x) |) + C$

Этап 6.2.2

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| \sin (x) \sec (x) |) + C$