Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{t} - e^{- 3 t} - \cos (t) d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{t} d t + \int - e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$\ln (| t |) + C + \int - e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| t |) + C - \int e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Этап 4

Пусть $u = - 3 t$ . Тогда $d u = - 3 d t$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = - 3 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 3 t]$

Этап 4.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3 t$ по $t$ равна $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| t |) + C - \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int - \cos (t) d t$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| t |) + C - \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int - \cos (t) d t$

Этап 5.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| t |) + C - \int - \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| t |) + C - - \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (| t |) + C + 1 \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Этап 7.2

Умножим $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ на $1$ .

$\ln (| t |) + C + \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - \cos (t) d t$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int - \cos (t) d t$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) - \int \cos (t) d t$

Этап 11

Интеграл $\cos (t)$ по $t$ имеет вид $\sin (t)$ .

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) - (\sin (t) + C)$

Этап 12

Упростим.

$\ln (| t |) + \frac{1}{3} e^{u} - \sin (t) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $- 3 t$ .

$\ln (| t |) + \frac{1}{3} e^{- 3 t} - \sin (t) + C$