Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x (1 - x)} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$

Этап 1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (1 - x)$ .

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.1.5.1.2

Разделим $A (1 - x)$ на $1$ .

$1 = A (1 - x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.1.5.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.1.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A - A x + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.1.5.5

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A - A x + \frac{B (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.1.5.5.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$1 = A - A x + (B) (x)$

$1 = A - A x + B x$

Этап 1.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Перенесем $A$ .

$1 = A - x A + B x$

Этап 1.1.6.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$1 = A - x A + B x$

Этап 1.1.6.3

Перенесем $A$ .

$1 = - x A + B x + A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $1$ .

$0 = - 1 \cdot 1 + B$

$A = 1$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = 1$

Этап 1.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Этап 1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = 1 A = 1$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$B = 1, A = 1$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}$

Этап 1.5

Удалим ноль из выражения.

$\int \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 4.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C)$

Этап 8

Упростим.

$\ln (| x |) - \ln (| u |) + C$

Этап 9

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| u |}) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$\ln (\frac{| x |}{| 1 - x |}) + C$