Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 49}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 7 \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 7 \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $7 \sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(7 \sec (t))}^{2} - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(7 \sec (t))}^{2} - 49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $7 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{7^{2} \sec^{2} (t) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \sec^{2} (t) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $49$ из $49 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 (\sec^{2} (t)) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $49$ из $- 49$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \sec^{2} (t) + 49 \cdot - 1}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $49$ из $49 \sec^{2} (t) + 49 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 (\sec^{2} (t) - 1)}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \tan^{2} (t)}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $49 \tan^{2} (t)$ в виде ${(7 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(7 \tan (t))}^{2}}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} (7 \tan (t))} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $7 \tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $7 \tan (t)$ из ${(7 \sec (t))}^{2} (7 \tan (t))$ .

$\int \frac{1}{7 \tan (t) ({(7 \sec (t))}^{2})} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $7 \tan (t)$ из $7 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{7 \tan (t) ({(7 \sec (t))}^{2})} (7 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{7 \tan (t) {(7 \sec (t))}^{2}} (7 \tan (t) \sec (t)) d t$

Этап 2.2.1.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Этап 2.2.2

Объединим $\frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2}}$ и $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(7 \sec (t))}^{2}} d t$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $7$ из $7 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(7 (\sec (t)))}^{2}} d t$

Этап 2.2.3.2

Применим правило умножения к $7 (\sec (t))$ .

$\int \frac{\sec (t)}{7^{2} \sec^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.3.3

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{49 \sec^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.3.4

Сократим общий множитель $\sec (t)$ и $\sec^{2} (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1

Умножим на $1$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{49 \sec^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $49 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (49 \sec (t))} d t$

Этап 2.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (49 \sec (t))} d t$

Этап 2.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{49 \sec (t)} d t$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{49}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{49}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{49} \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Этап 4.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{49} \int 1 \cos (t) d t$

Этап 4.3

Умножим $\cos (t)$ на $1$ .

$\frac{1}{49} \int \cos (t) d t$

Этап 5

Интеграл $\cos (t)$ по $t$ имеет вид $\sin (t)$ .

$\frac{1}{49} (\sin (t) + C)$

Этап 6

Упростим.

$\frac{1}{49} \sin (t) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{x}{7})$ .

$\frac{1}{49} \sin (arcsec (\frac{x}{7})) + C$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{49} \sin (arcsec (\frac{1}{7} x)) + C$