Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x^{2} - 6 x + 9} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 3^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 1.1.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Этап 1.1.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{B}{x - 3}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2}}{x - 3}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель ${(x - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2}}{x - 3}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2}}{x - 3}$

Этап 1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель ${(x - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2}}{x - 3}$

Этап 1.1.6.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x - 3)}^{2}}{x - 3}$

Этап 1.1.6.2

Сократим общий множитель ${(x - 3)}^{2}$ и $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $(B) {(x - 3)}^{2}$ .

$1 = A + \frac{(x - 3) (B (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.2.1

Умножим на $1$ .

$1 = A + \frac{(x - 3) (B (x - 3))}{(x - 3) \cdot 1}$

Этап 1.1.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$1 = A + \frac{(x - 3) (B (x - 3))}{(x - 3) \cdot 1}$

Этап 1.1.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$1 = A + \frac{B (x - 3)}{1}$

Этап 1.1.6.2.2.4

Разделим $B (x - 3)$ на $1$ .

$1 = A + B (x - 3)$

Этап 1.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A + B x + B \cdot - 3$

Этап 1.1.6.4

Перенесем $- 3$ влево от $B$ .

$1 = A + B x - 3 B$

Этап 1.1.7

Изменим порядок $A$ и $B x$ .

$1 = B x + A - 3 B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A - 3 B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = B$

$1 = A - 3 B$

$0 = B$

$1 = A - 3 B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем уравнение в виде $B = 0$ .

$B = 0$

$1 = A - 3 B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $1 = A - 3 B$ на $0$ .

$1 = A - 3 \cdot 0$

$B = 0$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим $A - 3 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Умножим $- 3$ на $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

Этап 1.3.2.2.1.2

Добавим $A$ и $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

Этап 1.3.3

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$B = 0$

Этап 1.3.4

Решим систему уравнений.

$A = 1 B = 0$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$A = 1, B = 0$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{B}{x - 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{0}{x - 3}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разделим $0$ на $x - 3$ .

$\frac{1}{{(x - 3)}^{2}} + 0$

Этап 1.5.2

Удалим ноль из выражения.

$\int \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = x - 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Этап 5

Перепишем $- u^{- 1} + C$ в виде $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$- \frac{1}{x - 3} + C$