Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим на $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \cdot 1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Этап 1.2

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Этап 1.3

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ в $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 1.4

Умножим $\sqrt[9]{8 + \tan (t)}$ на $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 1.5

Объединим $\frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}}$ и $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Этап 2

Пусть $u = 8 + \tan (t)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 8 + \tan (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $8 + \tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [8 + \tan (t)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $8 + \tan (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $8$ является константой относительно $t$ , производная $8$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Этап 2.1.3

Производная $\tan (t)$ по $t$ равна $\sec^{2} (t)$ .

$0 + \sec^{2} (t)$

Этап 2.1.4

Добавим $0$ и $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{u}} d u$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[9]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{9}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{9}}} d u$

Этап 3.2

Вынесем $u^{\frac{1}{9}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1} d u$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{9} \cdot - 1} d u$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{9}$ и $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{9}} d u$

Этап 3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int u^{- \frac{1}{9}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{9}}$ по $u$ имеет вид $\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}}$ .

$\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $8 + \tan (t)$ .

$\frac{9}{8} {(8 + \tan (t))}^{\frac{8}{9}} + C$