Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} x^{2} \cos (3 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = \cos (3 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sin (3 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (3 x) (x) d x)$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (3 x) (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (3 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (x (- \frac{1}{3} \cos (3 x))]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\cos (3 x)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (x (- \frac{\cos (3 x)}{3})]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

Этап 6.3

Объединим $\cos (3 x)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + 1 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Этап 8.2

Умножим $\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (3 x) d x)$

Этап 10

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 10.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 10.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Этап 10.3

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 10.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

Этап 10.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Этап 10.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Этап 10.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 10.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 10.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{3} d u)$

Этап 11

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{3} d u)$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Этап 13.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Этап 14

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{9} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Этап 15

Объединим $\frac{1}{9}$ и $\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}}{9})$

Этап 16

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем значение $\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}$ в $\frac{π}{6}$ и в $0$ .

$(\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (3 \frac{π}{6})}{3}) - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}}{9})$

Этап 16.2

Найдем значение $- \frac{x \cos (3 x)}{3}$ в $\frac{π}{6}$ и в $0$ .

$(\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (3 \frac{π}{6})}{3}) - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}}{9})$

Этап 16.3

Найдем значение $\sin (u)$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

Этап 16.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Объединим $3$ и $\frac{π}{6}$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.2

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 16.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.4

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.5

Умножим $0$ на $\sin (0)$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.6

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.6.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 16.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.8

Добавим $\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3}$ и $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.9

Объединим $3$ и $\frac{π}{6}$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 π}{6})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.10

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.10.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 (π)}{6})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{π}{2})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.11

Объединим $\frac{π}{6}$ и $\cos (\frac{π}{2})$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6}}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.12

Перепишем $\frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6}}{3}$ в виде произведения.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- (\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.13

Умножим $\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6 \cdot 3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.14

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.15

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0 \cos (0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.16

Умножим $0$ на $\cos (0)$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.17

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.17.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{3 (0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.17.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0}{1} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.17.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + 0 + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.18

Добавим $- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18}$ и $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

Этап 16.4.19

Чтобы записать $\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{9} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 16.4.20

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.20.1

Умножим $\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{9}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{(\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 2}{9 \cdot 2})$

Этап 16.4.20.2

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{(\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 2}{18})$

Этап 16.4.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 2}{18}$

Этап 16.4.22

Перенесем $2$ влево от $\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 \cdot (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{18}$

Этап 16.4.23

Умножим $\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{18}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{(- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))) \cdot 2}{18 \cdot 3}$

Этап 16.4.24

Умножим $18$ на $3$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{(- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))) \cdot 2}{54}$

Этап 16.4.25

Перенесем $2$ влево от $- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2 \cdot (- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))}{54}$

Этап 16.4.26

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.26.1

Вынесем множитель $2$ из $54$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2 (- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))}{2 \cdot 27}$

Этап 16.4.26.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2 (- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))}{2 \cdot 27}$

Этап 16.4.26.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{27}$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{27}$

Этап 17.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{27}$

Этап 17.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - \sin (0))}{27}$

Этап 17.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - 0)}{27}$

Этап 17.5

Умножим ${(\frac{π}{6})}^{2}$ на $1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - 0)}{27}$

Этап 17.6

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 π + 2 (1 - 0)}{27}$

Этап 17.7

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2 (1 - 0)}{27}$

Этап 17.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2 (1 + 0)}{27}$

Этап 17.9

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2 \cdot 1}{27}$

Этап 17.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2}{27}$

Этап 17.11

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{2}{27}$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Применим правило умножения к $\frac{π}{6}$ .

$\frac{\frac{π^{2}}{6^{2}}}{3} - \frac{2}{27}$

Этап 18.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{π^{2}}{36}}{3} - \frac{2}{27}$

Этап 18.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{π^{2}}{36} \cdot \frac{1}{3} - \frac{2}{27}$

Этап 18.3

Объединим.

$\frac{π^{2} \cdot 1}{36 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

Этап 18.4

Умножим $π^{2}$ на $1$ .

$\frac{π^{2}}{36 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

Этап 18.5

Умножим $36$ на $3$ .

$\frac{π^{2}}{108} - \frac{2}{27}$

Этап 19

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π^{2}}{108} - \frac{2}{27}$

Десятичная форма:

$0.01731115 \dots$