Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2}$ положительно.

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.1.5

Найдем экспоненту.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{6}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.5

Объединим $\frac{\sqrt{6}}{2}$ и $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{6} \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6} \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{{(\sqrt{6} \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.6.2

Применим правило умножения к $\sqrt{6} \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{{\sqrt{6}}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.7

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6^{1} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.7.5

Найдем экспоненту.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 2 (- 1) \frac{6 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.9.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \cdot - 1 \frac{6 \sin^{2} (t)}{2 \cdot 2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.9.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \cdot - 1 \frac{6 \sin^{2} (t)}{2 \cdot 2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.9.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{6 \sin^{2} (t)}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.10

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.10.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{2 (3 \sin^{2} (t))}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{2 (3 \sin^{2} (t))}{2 (1)}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{2 (3 \sin^{2} (t))}{2 \cdot 1}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{3 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.10.2.4

Разделим $3 \sin^{2} (t)$ на $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 (3 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.11

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.6

Изменим порядок $3$ и $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{\cos (t) \sqrt{3} \cdot 2} d t$

Этап 2.2.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (t) \sqrt{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2 \cdot (\cos (t) \sqrt{3})} d t$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2 \cos (t) \sqrt{3}} d t$

Этап 2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}} d t$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}} t + C$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}} t + C$ в виде $\frac{\sqrt{\frac{6}{3}}}{2} t + C$ .

$\frac{\sqrt{\frac{6}{3}}}{2} t + C$

Этап 4.2

Разделим $6$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} t + C$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{3}}) + C$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} x) + C$